פולינומי צ'בישב

סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים, $T_{0} (x), T_{1} (x), \dots$ , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן $p (x)$ מקיים את אי-השוויון $\max_{- 1 \leq x \leq 1} | p (x) | \geq 2^{1 - n}$ , והפולינומים $2^{1 - n} T_{n} (x)$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

T_{0} (x) = 1

T_{1} (x) = x

T_{2} (x) = 2 x^{2} - 1

T_{3} (x) = 4 x^{3} - 3 x

הגדרה ותכונות יסוד

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה $T_{n} (\cos θ) = \cos (n θ)$ , שבגללה $T_{n} (x + x^{- 1}) = x^{n} + x^{- n}$ לכל $x$ . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: $T_{0} (x) = 1$ , $T_{1} (x) = x$ ו- $T_{n + 1} (x) = 2 x T_{n} (x) - T_{n - 1} (x) .$ . מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה- $n$ -י היא $n$ .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

$T_{n} (x) = {\begin{cases} \cos (n \arccos (x)), & x \in [- 1, 1] \\ \cosh (n a r c c o s h (x)), & x \geq 1 \\ (- 1)^{n} \cosh (n a r c c o s h (- x)), & x \leq - 1 \end{cases}$

מן ההגדרה נובע ש-

$T_{n} (T_{m} (x)) = T_{n \cdot m} (x)$ ,

וכן

$T_{n} (1) = 1, T_{n} (- 1) = (- 1)^{n}, T_{2 n + 1} (0) = 0, T_{2 n} (0) = (- 1)^{n}$ .

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה $T_{n} (x) = \frac{(x + \sqrt{x^{2} - 1})^{n} + (x - \sqrt{x^{2} - 1})^{n}}{2} = \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (\binom{n}{2 k}) (x^{2} - 1)^{k} x^{n - 2 k}$ ולקבל את הפונקציה היוצרת

$\sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) t^{n} = \frac{1 - t x}{1 - 2 t x + t^{2}}$ .

מתקיים גם השוויון $T_{n} (x) = 1 + n^{2} (x - 1) \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 + \frac{x - 1}{2 \sin^{2} (\frac{k π}{n})})$ .

פולינומי צ'ביצ'ב ${T_{n}}_{n = 0}^{\infty}$ מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת $⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} f_{1} (x) f_{2} (x) d x$ .

השלכות לבניות גאומטריות

מכך שמעלת $T_{n}$ היא $n$ נובע כי $\cos (θ)$ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה $ℚ [\cos (n θ)]$ , ובפרט הממד $[ℚ [\cos (θ)] : ℚ [\cos (n θ)]] \leq n$ . אם בוחרים $θ = \frac{π}{2 n}$ מתקבל $T_{n} (\cos θ) = 0$ , ולעיתים קרובות $T_{n}$ הוא הפולינום המינימלי של $\cos (\frac{π}{2 n})$ .

ראו גם

מסנני צ'בישב

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פולינומי צ'בישב בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פולינומי צ'בישב32958308Q619511

פולינומי צ'בישב

תוכן עניינים

הגדרה ותכונות יסוד

השלכות לבניות גאומטריות

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

פולינומי צ'בישב

הגדרה ותכונות יסוד

השלכות לבניות גאומטריות

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

חיפוש