פולינומי צ'בישב

T₁, T₂, T₃, T₄, T₅

סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים, $T_{0}(x),T_{1}(x),\dots$ , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן $p(x)$ מקיים את אי-השוויון $\max _{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n}$ , והפולינומים $2^{1-n}T_{n}(x)$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

T_{2}(x)=2x^{2}-1

T_{3}(x)=4x^{3}-3x

הגדרה ותכונות יסוד

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה $T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )$ , שבגללה $T_{n}(x+x^{-1})=x^{n}+x^{-n}$ לכל $x$ . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: $T_{0}(x)=1\,\!$ , $T_{1}(x)=x\,\!$ ו- $T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,\!$ . מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה- $n$ -י היא $n$ .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!$

מן ההגדרה נובע ש-

$T_{n}(T_{m}(x))=T_{n\cdot m}(x)\,\!$ ,

וכן

$T_{n}(1)=1,\qquad T_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T_{2n+1}(0)=0,\qquad T_{2n}(0)=(-1)^{n}\,$ .

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה

T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}

ולקבל את הפונקציה היוצרת

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}$ .

מתקיים גם השוויון $T_{n}(x)=1+n^{2}{(x-1)}\prod _{k=1}^{n-1}\left({1+{{x-1} \over 2\sin ^{2}\left({k\pi \over n}\right)}}\right)$ .

פולינומי צ'ביצ'ב $\left\{T_{n}\right\}_{n=0}^{\infty }$ מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת $\langle f_{1},f_{2}\rangle =\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{1}(x)f_{2}(x)\,dx$ .

השלכות לבניות גאומטריות

מכך שמעלת $T_{n}$ היא $n$ נובע כי $\cos(\theta )$ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה $\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]$ , ובפרט הממד $[\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]]\leq n$ . אם בוחרים $\theta ={\frac {\pi }{2n}}$ מתקבל $T_{n}(\cos \theta )=0$ , ולעיתים קרובות $T_{n}$ הוא הפולינום המינימלי של $\cos({\frac {\pi }{2n}})$ .