הלמה של נקאימה

במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג R.

לפי הלמה, $J(R)\cdot M\ne M$ לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, M, כאשר אם $J=J(R)$ הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידאלים השמאליים המקסימליים של R. הטענה חשובה במיוחד כאשר R חוג מקומי (אז J הוא האידאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.

מן הלמה נובע, למשל, שכאשר M נוצר סופית, $J\cdot M+N\ne M$ לכל תת-מודול $N<M$; כלומר, המכפלה $J(R)\cdot M$ קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל- M על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל-M כולו.

בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך:

תהי ${ℱ}$ אלומה קוהרנטית. אז הנבט בx, המסומן ב${{ℱ}}_x$, הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה U של x כך ש${ℱ}{|}_U=0$.

בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית $M$ מעל חוג $R$ ולכל אידאל $I$ ב-$R$, אם $IM=M$ אז קיים $a\in I$ שעבורו $(1+a)M=0$. כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד $a\in I$ כך שלכל $m\in M$ מתקיים $am=m$.

הוכחה

נניח כי M הוא R-מודול נוצר סופית השונה מ-0. מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש-M נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול $M^{\prime }\subset M$ מקסימלי (כלומר, $M^{\prime }$ אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של M). מכך נובע כי $M/M^{\prime }$ הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידאל שמאלי מקסימלי m בR כך ש-$M/M^{\prime }\cong R/m$. אבל $J(R)\cdot R/m\subset m\cdot R/m=0$, ולכן $J(R)\cdot M/M^{\prime }=0$. מכאן ש- $J(R)\cdot M\subseteq M^{\prime }\ne M$.

לקריאה נוספת

• Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.