חבורת האיזומטריות

בטופולוגיה, חבורת האיזומטריות של מרחב מטרי היא חבורת ההעתקות ההפיכות מהמרחב אל עצמו, אשר משמרות מרחק -- הנקראת גם איזומטריות. חבורה זו מכילה את המידע אודות הסימטריות של המרחב, ובעזרתה ניתן ללמוד על המבנה שלו.

הגדרה

בהינתן מרחב מטרי $(M,d)$, איזומטריה של $M$ היא העתקה $\varphi :M\to M$, חח"ע ועל, אשר משמרת מרחקים: $d(x,y)=d(\varphi (x),\varphi (y))$.

קל להיווכח בכך שהרכבה של שתי איזומטריות והפכית של איזומטריה גם הן איזומטריות. על כן, אוסף האיזומטריות של מרחב נתון מהווה חבורה, המכונה חבורת האיזומטריות של המרחב $M$.

דוגמאות

• חבורת האיזומטריות של ספירה הנה החבורה האורתוגונלית (O(3.
• חבורת האיזומטריות של המספרים השלמים $\mathbb{\mathbb{Z}}$ (עם המרחק הרגיל בין מספרים) הנה החבורה הדיהדרלית האינסופית.
• חבורת האיזומטריות של מרחב מינקובסקי הנה חבורת פואנקרה.