חבורת אוילר

חבורת אוילר (נקראת בדרך כלל חבורת ההפיכים מודולו n) היא החבורה של המספרים השלמים הזרים ל-n (כלשהו), עם פעולת הכפל מודולו n. לחבורות אלה תפקיד יסודי בתורת המספרים האלמנטרית: לאונרד אוילר נעזר במבנה הזה - עוד לפני שתורת החבורות באה לעולם - כדי להוכיח את ההכללה של המשפט הקטן של פרמה, הידועה בשם "משפט אוילר".

מקובל לסמן את החבורה ב- $\ U_{n}$ , $\ Euler(n)$ או $\mathbb {Z} _{n}^{\times }$ (הסימון האחרון מדגיש כי זוהי חבורת ההפיכים בחוג $\mathbb {Z} _{n}$ ). בחבורת אוילר של n יש $\ \phi (n)$ אברים, כאשר $\ \phi$ היא פונקציית אוילר. מנקודת מבט זו, משפט אוילר הוא משפט לגראנז' המיושם לחבורת אוילר.

לדוגמה, חבורת אוילר מסדר 15 כוללת את המספרים $\ U_{15}=\{1,2,4,7,8,11,13,14\}$ . קיומה של החבורה מבוסס על עובדה שהייתה ידועה כבר לאוקלידס ומופיעה בספרו "יסודות": אם a ו- b שני מספרים הזרים ל- n, אז גם המכפלה ab זרה ל- n. במלים אחרות, הקבוצה $\ U_{n}$ סגורה לכפל. בנוסף לזה, אם a זר ל- n אז אלגוריתם אוקלידס המוכלל מאפשר למצוא מספרים שלמים $\ u,v$ כך ש- $\ ua+vn=1$ , ובחישוב מודולו n מתקבל ש- u הוא ההופכי של a (הנקרא הופכי כפלי מודולרי של a); מכאן שהקבוצה כוללת, עבור כל איבר שלה, גם איבר הפכי - ולכן היא חבורה.

חבורת אוילר מאגדת את התכונות הבסיסיות של החישוב בשאריות מודולו n, ואין פלא שהיא מופיעה תדיר בשימושים של תורת המספרים; לדוגמה, בשיטת ההצפנה RSA.

בחישוב המבנה של חבורת אוילר עסק גאוס, שמצא כי החבורה ציקלית בדיוק כאשר n שווה ל-1, 2, 4, חזקה של מספר ראשוני אי-זוגי, או פעמיים חזקה כזו (ראו איבר פרימיטיבי).

המבנה של חבורת אוילר

על-פי ההגדרה, חבורת אוילר היא חבורת האיברים ההפיכים של החוג $\ \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ . אם המספרים n ו- m זרים זה לזה, אפשר להוכיח באמצעות משפט השאריות הסיני, בין אם באופן ישיר ובין אם בעזרת הזהות $\ \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ , את האיזומורפיזם $\ U_{nm}\cong U_{n}\times U_{m}$ . מכאן יוצא שכדי לתאר את חבורת אוילר כמכפלה של חבורות ציקליות, די לתאר חבורה זו עבור n שהוא חזקת ראשוני.

כאשר p ראשוני, חבורת אוילר $\ U_{p}$ היא ציקלית. לדוגמה, החבורה $\ U_{13}$ נוצרת על ידי 2. לעובדה שתמיד קיימים יוצרים קטנים יחסית של החבורה יש חשיבות רבה במבחני ראשוניות. טענה זו, על הציקליות של $\ U_{p}$ , היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר - תת-חבורה כפלית, סופית, של שדה היא תמיד ציקלית. כדי להוכיח את הטענה, יש להבחין כי למשוואה $\ x^{d}=1$ יש (בשדה) לכל היותר d פתרונות; מצד שני, אם d מחלק את p-1, אז הפולינום $\ x^{d}-1$ מחלק את הפולינום $\ x^{p-1}-1$ , וכך אפשר לראות שלמשוואה יש בדיוק d פתרונות. אם $\ r_{d}$ יסמן את מספרם של המספרים שסדרם שווה ל- d, אפשר להוכיח באינדוקציה על d את השוויון $\ r_{d}=\phi (d)$ .

כדי לראות שחבורת אוילר ציקלית גם עבור חזקות $\ p^{t}$ , די להצביע על איבר מסדר $\ p^{t-1}$ (מכפלתו של איבר כזה באיבר מסדר p-1 היא מסדר $\ \phi (p^{t})=(p-1)p^{t-1}$ ). ואכן, כאשר p אי-זוגי, האיבר p+1 הוא כזה. לדוגמה, בחבורה $\ U_{3125}$ , לאיבר 2057 יש סדר 4, ואילו ל-6 יש סדר 625. המכפלה, 2967, יוצרת את החבורה.

במקרה של חזקת 2 החבורה אינה ציקלית, ובמקום זה $\ U_{2^{t}}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2^{t-2}\mathbb {Z}$ (כאשר $\ t\geq 3$ ). את החבורה יוצרים המספרים $\ U_{2^{t}}=\langle -1,5\rangle$ .

כך אפשר לפרק את חבורת אוילר באופן כללי. למשל, $\ U_{1600}\cong U_{64}\times U_{25}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /20\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ , ומכאן שהאקספוננט של חבורה זו הוא $\ 16\cdot 5=80$ . במלים אחרות, לכל a שאינו מתחלק ב-2 או ב-5, מתקיים $\ a^{80}\equiv 1{\pmod {1600}}$ , והמספר 80 הוא הקטן ביותר בעל תכונה זו.

את האקספוננט של חבורת אוילר מסדר n מסמנים ב- $\ \lambda (n)$ , בעוד שפונקציית אוילר של $\ n=p_{1}^{s_{1}}\dots p_{k}^{s_{k}}$ מתקבלת מהכפלת כל המספרים $\ p_{i}^{s_{i}-1}(p_{i}-1)$ , הפונקציה $\ \lambda$ שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל המספרים האלה (לאחר שהגורם $\ 2^{s-1}$ מוחלף ב- $\ 2^{s-2}$ , אם $\ 2\leq s$ ).