1,000 הערכים הראשונים של פונקציית אוילר
פונקציית אוילר, הקרויה על-שם לאונרד אוילר, היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית. הפונקציה, שאותה מקובל לסמן באות היוונית
(פי), מוגדרת באופן הבא:
שווה למספרם של המספרים הטבעיים הזרים ל-
ואינם גדולים ממנו. למשל,
,
, ואילו
(1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו). כלומר, זהו גודלה של חבורת אוילר המתאימה ל-
:
.
הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר
מחלק את
.
חישוב הפונקציה
אם
מספר ראשוני, אז כל המספרים הקטנים מ-
זרים לו, ולכן
. באופן כללי יותר, המספרים שאינם זרים ל-
הם כל אלו שמתחלקים ב-
, שמספרם
, ולכן
. ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר היא כפלית, כלומר,
כל אימת שהמספרים
זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה
, כאשר
הם הגורמים הראשוניים השונים של
. לדוגמה
. נראה זאת. נכתוב
ואז נקבל ממה שאנו כבר יודעים עבור חישוב פונקציית אוילר לחזקה של ראשוני כי:
תכונות הפונקציה
- פונקציית אוילר מקיימת את הזהות
, אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית
.
כאשר
היא פונקציית מוביוס.
נוכל לתת הוכחה נוספת, המבוססת על הנוסחה
לחישוב הפונקציה שהראינו. הרי אם נסמן ב-
את הגורמים הראשוניים השונים שמחלקים את
, נוכל להבחין כי
שהרי לכל מחלק
, אם הוא לא מכפלת ראשוניים שונים אז
מהגדרת פונקציית מוביוס.
- לכל
,
מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם
בעבור
, אז
. אחרת, ל-
יש מחלק
ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה
, ולכן:
, ו-
זוגי.
- הערך הממוצע של הפונקציה הוא[1]
. הגבול התחתון של היחס
הוא
, כאשר
הוא קבוע אוילר.
- ניתן לכתוב את טור דיריכלה של פונקציית אוילר באופן הבא:
כאשר
היא פונקציית זטא של רימן.
.
מקורות
- Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ^ זו השערה לא מפורסמת של גאוס מ-1796. פורסמה לראשונה על ידי דיריכלה ב-1849, והוכחה לבסוף על ידי Arnold Walfisz.
30145238פונקציית אוילר