חסם (מתמטיקה)

במתמטיקה, חסם של תת-קבוצה של קבוצה סדורה הוא אבר של הקבוצה הסדורה כך שמתקיים אחד משניים: או שהוא גדול או שווה לכל אחד מאברי תת-הקבוצה, או שהוא קטן או שווה לכל אחד מאברי תת-הקבוצה.

חסם יכול להיות שייך לקבוצה שאותה הוא חוסם, אך גם לא להיות שייך לה. למשל, חסם של הקבוצה $\{1,2,3\}$ הוא 4, כי הוא גדול מכל אברי הקבוצה, אף שאינו שייך לקבוצה. לעומתו 3 הוא גם חסם של הקבוצה, וגם שייך לה. האיבר הגדול ביותר בקבוצה ששייך לה נקרא "מקסימום" והאיבר הקטן ביותר ששייך לה נקרא "מינימום", אך בקבוצות אינסופיות לא תמיד קיים איבר כזה.

לעיתים מחפשים את החסם "המדויק ביותר", במובן זה שהוא גדול או קטן מכל אברי הקבוצה כך שאין חסם "טוב יותר", כלומר כזה הנמצא בינו ובין אברי הקבוצה. לכל קבוצה חסומה של מספרים ממשיים קיים חסם שכזה, והלמה של צורן מבטיחה קיום של חסם כזה גם בקבוצות כלליות יותר, בהינתן תנאים מסוימים.

הגדרה פורמלית

תהי $(X,\leq )$ קבוצה סדורה ותהי $A\subseteq X$ תת-קבוצה שלה.

• $x\in X$ יקרא חסם מלעיל של $A$ אם לכל $a\in A$ מתקיים $a\leq x$ .
• $x\in X$ יקרא חסם מלרע של $A$ אם לכל $a\in A$ מתקיים $x\leq a$ .

יש חשיבות רבה לחסם מלעיל "הקטן ביותר" ולחסם מלרע "הגדול ביותר", ולכן יש להם שמות משל עצמם:

• חסם מלעיל $x$ של $A$ יקרא חסם עליון (סוּפְּרִמוּם) של $A$ אם לכל חסם מלעיל $y$ של $A$ מתקיים $x\leq y$ .

נהוג לסמן את החסם העליון $\sup A$ .

אם $x\in A$ אז $x$ יקרא המקסימום של $A$ ומסמנים $x=\max A$ .

• חסם מלרע $x$ של $A$ יקרא חסם תחתון (אִינְפִימוּם) של $A$ אם לכל חסם מלרע $y$ של $A$ מתקיים $y\leq x$ .

נהוג לסמן את החסם התחתון $\inf A$ .

אם $x\in A$ אז $x$ יקרא המינימום של $A$ ומסמנים $x=\min A$ .

קבוצה חסומה היא קבוצה שיש לה חסם מלעיל וחסם מלרע.

דוגמאות

• לקבוצת המספרים הטבעיים יש מינימום (המספר 1), אך אין לה חסם מלעיל.
• לקבוצת המספרים השלמים אין חסם מלעיל ואין חסם מלרע.
• לקבוצת המספרים הממשיים שבקטע הסגור $[0,1]$ יש מינימום (0) ומקסימום (1) – זו קבוצה חסומה.
• לקבוצת המספרים הממשיים שבקטע הפתוח (0,1) יש חסם תחתון (0) וחסם עליון (1), ולכן זו קבוצה חסומה, אך אין לה מינימום ומקסימום.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0