משוואה פונקציונלית

במתמטיקה, משוואה פונקציונלית היא משוואה המאפיינת פונקציה מסוימת כאשר הנעלם הוא הפונקציה. המשוואה יכולה להיות על ערך מסוים של הפונקציה או לכול נקודה.

דוגמאות

• לפונקציית זטא של רימן יש משוואה פונקציונלית שהיא

$f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$

כאשר גמא מייצג את פונקציית גמא.

• פונקציית גמא היא הפתרון למערכת המשוואות הפונקציונליות שהן:

$f(x)={f(x+1) \over x}\,\!$

$f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$

$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,$       

• דוגמאות נוספות

$f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!$ מאפיין את פונקציית סינוס.

$g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!$ מאפיין את פונקציית קוסינוס.

$f(xy)=f(x)f(y)\,\!$ מאפיין כל פונקציית החזקה.

$f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ מאפיין אקספוננט.

$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ כלל המקבילית.

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ המשוואה הפונקציונלית של קושי (עבור העתקה לינארית).

פתרון משוואה פונקציונלית

פתירת משוואה פונקציונלית (או מערכת משוואות פונקציונלית) תלוי במשוואה עצמה. אפשר להציב ערכים שונים לפונקציה ולהפוך אותה למערכת משוואות בעלי נעלם יחיד שהוא הפונקציה. דוגמה לכך היא פתרון המשוואה :

$f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}\,$

על ידי הצבה של ערכים שונים ל-$y$ ביחס ל-$x$, כגון $x=y$ ו- $x=-y$, אפשר לגלות כי הפתרון היחיד של הפונקציה הוא $f(x)=0$.