משטח סיבוב

סיבוב עקומה סביב ציר Z

משטח סיבוב הוא משטח המתקבל מסיבוב של עקומה, הנקראת העקומה היוצרת, סביב ישר הנקרא ציר סיבוב. דוגמאות מוכרות למשטחי סיבוב הם הגליל הפתוח, והחרוט הפתוח, שבהם העקומה היוצרת היא קו ישר. משטחי סיבוב יכולים להיות סגורים או פתוחים. למשל, אם נסובב מעגל סביב ישר העובר דרך מרכזו, נקבל משטח סגור שנקרא ספירה, לעומת זאת, אם נסובב פרבולה סביב ציר הסימטריה שלה נקבל פרבולואיד, שהוא משטח פתוח.

אופן החישוב

כדי לקבל ייצוג מתמטי למשטח סיבוב, ניתן להכפיל את הייצוג הפרמטרי של העקומה במטריצת סיבוב.

למשל, כדי לחשב את משטח הסיבוב המתקבל מסיבוב הפרבולה ${\bigl \{}(x,y,z):y=x^{2},z=0{\bigr \}}$ סביב ציר Y, יש למצוא פרמטריזציה לפרבולה, למשל $\gamma (t)=(t,t^{2},0)$ . כעת, נכפיל את הפרמטריזציה של הפרבולה במטריצת סיבוב סביב ציר Y:

${\begin{pmatrix}\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&1&0\\-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\t^{2}\\0\end{pmatrix}}$

ונקבל את ההצגה הפרמטרית של המשטח

${\begin{aligned}\gamma (t,\theta )={\bigr (}t\cos(\theta ),t^{2},-t\sin(\theta ){\bigr )}\\t\in (-\infty ,\infty )\quad \theta \in [0,\pi )\end{aligned}}$

במערכת צירים קרטזית, המשטח שנוצר מתואר על ידי אוסף הפתרונות למשוואה $y=x^{2}+z^{2}$ , שהוא פרבולואיד.

דוגמאות

פרבולואיד

פרבולואיד אליפטי
ספרואיד אובלי	ספרואיד פרבולי

כפי שניתן לראות בדוגמה לעיל, אם נסובב פרבולה מסביב לציר הסימטריה שלה נקבל פרבולואיד, אך לא כל פרבולואיד הוא משטח סיבוב של פרבולה.

למעשה, הפרבולואיד היחיד המתקבל מסיבוב פרבולה הוא פרבולואיד אליפטי עם שני צירים שווים, המיוצג במערכת צירים קרטזית כאוסף הפתרונות של המשוואה:

$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}$

ספרואיד

ספרואיד הוא משטח הסיבוב הנוצר מסיבוב אליפסה מסביב לאחד משני צירי הסימטריה שלה. מסיבובה סביב לציר הראשי שלה נקבל ספרואיד פרבולי ומסיבובה סביב לציר המשני שלה נקבל ספרואיד אובלי.

במערכת צירים קרטזית, משוואת הספרואיד שמרכזו בראשית וציר הסימטריה שלו הוא ציר Z נתונה על ידי אוסף הפתרונות של המשוואה:

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

זהו מקרה פרטי של אליפסואיד בו שניים מהצירים שווים.

שטח

הנוסחא לחישוב שטחו של משטח סיבוב זהה לנוסחא לחישוב שטחו החיצוני של גוף סיבוב:

$A=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\tfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx$

בעקום הנתון בהצגה פרמטרית $\gamma (t)={\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}$ ניתן לחשב את השטח של משטח הסיבוב המתקבל מסיבוב העקום סביב לציר Y על ידי הנוסחא:

$A_{y}=2\pi \int \limits _{a}^{b}x(t){\sqrt {\left({\tfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt$

באופן דומה ניתן לחשב את שטחו של משטח הסיבוב המתקבל על ידי סיבוב העקום סביב לציר X:

$A_{x}=2\pi \int \limits _{a}^{b}y(t){\sqrt {\left({\tfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt$

ראו גם

• גאומטריה אנליטית
• גוף סיבוב

קישורים חיצוניים

• משטח סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0