עקרון המילטון

עקרון המילטון או עקרון הפעולה המינימלית הוא עיקרון פיזיקלי שמתוכו ניתן לגזור את משוואות התנועה של המכניקה הקלאסית. העיקרון אינו מכיל מידע פיזיקלי והצדקתו היא בעצם קבלת משוואות התנועה. הייחוד בעיקרון זה הוא שבעזרת הכללתו ושימוש בלגראנז'יאנים שונים, ניתן להכליל את המכניקה הקלאסית לכדי תורת שדות ובנוסף לכך, העיקרון תומך בצורה פשוטה במערכות בעלות אילוצים. שימוש באינטגרלי מסלול במכניקת הקוונטים מהווה הכללה של עקרון הפעולה המינימלית.

פורמליזם

מגדירים את הלגראנז'יאן של המערכת באופן הבא

\ L(x,{\dot {x}},t)=T-U=E_{k}(x,{\dot {x}},t)-E_{p}(x,{\dot {x}},t)

לגודל זה קשה לתת משמעות אינטואיטיבית אבל באמצעות הלגראנז'יאן אפשר גם להגדיר את ההמילטוניאן על ידי

\ H=p{\dot {x}}-L

כאשר ההמילטוניאן מייצג לרוב את האנרגיה הכוללת של המערכת.

הפעולה, שהיא האינטגרל על הלגראנז'יאן לאורך הזמן בו התרחשה התנועה תוגדר על ידי :

S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{L(x,{\dot {x}},t)\ dt}

עקרון המילטון קובע שהמערכת תנוע במסלול בו הפעולה תהיה סטציונרית, כלומר יתקיים התנאי ש

\ \delta S=0

משמעותו המתמטית של תנאי זה היא שאין שינוי בS לכל וריאציה קטנה בx.

אם כן, המשוואה $\ \delta S=0$ מהווה ניסוח שונה של חוקי הדינמיקה כך שכל מערכת הכפופה להם תנוע ממצבה בזמן t1 למצבה החדש בזמן t2 באופן שהפעולה בטווח זמן זה תהיה סטציונרית מתוך כלל פעולות ביתר הנתיבים האפשריים מבחינה קינמטית. הדרישה שלעיל היא כללית וחלשה יותר מאשר דרישה שהפעולה תהיה מינימלית. אם הפרש הזמנים t1, t2 הוא מספיק קטן אז נקודת הקיצון היא מינימום אמיתי.

עבור מערכות פיזיקליות עם תנאי שפה קבועים (נקודת ההתחלה והסוף של המסלול קבועים) אפשר להראות בעזרת שיטות של חשבון וריאציות שהתנאי לכך שהמערכת תנוע במסלול $\ x(t)$ הוא שהפונקציה הנ"ל תקיים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

\ {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0

משוואה זו ידועה כמשוואת אוילר-לגראנז', ועבור מערכת עם n דרגות חופש, כל דרגת חופש מקיימת את המשוואה הזו (וכך מקבלים מערכת של n משוואות דיפרנציאליות מצומדות).