פונקציונל

במתמטיקה, פונקציונל הוא שם לסוג מסוים של פונקציה. למושג יש שתי משמעויות עיקריות, בעלות מקור היסטורי משותף אך משמעויות שונות מעט בימינו.

במקור, השם "פונקציונל" בא לתאר פונקציה שהתחום שלה הוא קבוצה של פונקציות, כלומר פונקציה שפועלת על פונקציות. שימוש זה עדיין נפוץ בפיזיקה ובמדעי המחשב.

השימוש המקובל יותר לשם "פונקציונל" נובע מתחום האנליזה הפונקציונלית. מכיוון שבתחילה עסקה האנליזה הפונקציונלית במחקר מרחבים של פונקציות, התלכדה משמעות השם עם המשמעות המקורית שלו, אולם לאחר שאומצה גישה אקסיומטית כללית, נותר השם "פונקציונל" כדי לתאר פונקציה הפועלת על מרחב וקטורי כללי.

מבחינה פורמלית, פונקציונל הוא פונקציה (בדרך כלל לינארית) ממרחב נורמי (מרחב וקטורי עם נורמה) אל השדה שמעליו מוגדר המרחב. כלומר: $\ \Phi :X(\mathbb {F} )\to \mathbb {F}$. בדרך כלל נהוג להגדיר פונקציונלים מעל מרחבי בנך ממשיים או מרוכבים, מאחר שהם המרחבים המעניינים ביותר באנליזה פונקציונלית.

הגדרה כללית

יהי $\ X$ מרחב בנך מעל שדה $\ \mathbb {F}$. אזי פונקציונל $\ \Phi :X(\mathbb {F} )\to \mathbb {F}$ הוא פונקציה המתאימה לכל איבר במרחב מספר כלשהו מהשדה $\ \mathbb {F}$ .

נהוג לסמן את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים מעל $\ X$ בסימון $\ X^{\#}$. זהו מרחב לינארי. בדרך כלל עוסקים רק בפונקציונלים לינאריים ולכן בהרבה טקסטים בנושא המונח "פונקציונל" כולל את דרישת הלינאריות.

מגדירים נורמה של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה על כל אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:

$\ \|\Phi \|=\sup _{x\neq 0}{\frac {|\Phi (x)|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|\leq 1}{|\Phi (x)|}$

אזי תמיד מתקיים ש $\ |\Phi (x)|\leq \|\Phi \|\cdot \|x\|$.

פונקציונל שהנורמה שלו סופית ( $\ \|\Phi \|<\infty$) נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט פונקציונל רציף לפי תנאי ליפשיץ.

את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על $\ X$ מסמנים ב-$\ X^{*}$. זהו מרחב בנך - הוא לינארי, הוא נורמי, והוא שלם. למרחב $\ X^{*}$ קוראים "המרחב הדואלי" של $\ X$.

למרחב הדואלי יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית.

משפט ההצגה של ריס מסייע להבנת המבנה של המרחב הדואלי. למשל, מעל מרחב הילברט, ניתן לראות כל פונקציונל חסום בתור מכפלה פנימית. כלומר, אם $\ f(x)$ הוא פונקציונל חסום מעל מרחב הילברט, אז קיים $\ y$ במרחב כך ש-$\ f(x)=\langle x,y\rangle$, וכמו כן מתקיים $\ \|f\|=\|y\|$.

פונקציונל מעל מרחב פונקציות

באנליזה של מרחבים פונקציונלים (מרחבים שאיבריהם הם פונקציות, לרוב פונקציות ממשיות בעלות מידה מסוימת של חלקות), פונקציונל הוא "פונקציה של פונקציה". כלומר: פונקציונל הוא פונקציה המקבלת (פועלת על) פונקציה ומחזירה מספר (ממשי או מרוכב) בתמונה. זהו מקרה פרטי של ההגדרה הכללית.

לדוגמה: $\!\,I[f]=\int _{0}^{1}{f(x)\ dx}$. זהו פונקציונל המקבל פונקציה ומחזיר את האינטגרל המסוים שלה בקטע [0,1]. זהו פונקציונל לינארי.

השימוש בפונקציונלים לינאריים נפוץ כאשר מעוניינים להגדיר ולחשב נורמה של פונקציה.

פונקציונל לינארי

פונקציונל לינארי:

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$ פונקציה $\varphi :V\longrightarrow \mathbb {F}$ תקרא פונקציונל לינארי על $V$ אם היא מקיימת:

• לכל $v,u\in V$: $\ \varphi (v+u)=\varphi (v)+\varphi (u)$

• לכל $\lambda \in \mathbb {F}$ ולכל $v\in V$: $\ \varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)$

תכונות נוספות:

• לכל פונקציונל לינארי מתקיים $\ \varphi (0)=0$

• אם $\left\{v_{1},...,v_{n}\right\}$ בסיס ל $V$. יהיו $\alpha _{1},...\alpha _{n}\in \mathbb {F}$ סקלרים כלשהם. קיים פונקציונל לינארי יחיד $\varphi :V\longrightarrow \mathbb {F}$ המקיים $\ \varphi (v_{i})=\alpha _{i}$ לכל $1\leq i\leq n$.

ראו גם

• טופולוגיה חלשה
• מצב (אנליזה פונקציונלית)