תמורה (מתמטיקה)

6 התמורות האפשריות של שלושה עצמים (כל שורה מייצגת תמורה)

במתמטיקה, תמורה (בלועזית: פֶּרְמוּטַצְיָה) היא (באופן אינטואיטיבי) סידור מחדש של העצמים בקבוצה. פורמלית, כל פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה לעצמה נחשבת תמורה.

דוגמה: מהי תמורה?

נסתכל למשל על הפונקציה

$\sigma ={\begin{cases}1\mapsto 2\\2\mapsto 3\\3\mapsto 1\end{cases}}$

זו היא הפונקציה המתאימה ל־1 את 2, ל־2 את 3 ול־3 את 1, ובכך מסדרת מחדש את הקבוצה $\{1,2,3\}$ . צורה מקובלת לרשום תמורה היא כזאת:

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}$

צורת רישום זו נוחה לצורכי חשבונות של הרכבת תמורות.

הגדרה פורמלית

תהא $X$ קבוצה. פונקציה $\sigma :X\to X$ תקרא תמורה על הקבוצה $X$ אם היא חד־חד־ערכית ועל.

הגדרה זו תקפה גם במקרה שהקבוצה $X$ אינסופית. במילים אחרות, תמורה יכולה לתאר גם שינוי בסדר של אינסוף איברים.

חבורת התמורות

אוסף כל התמורות מעל קבוצה $X$ מקיימת את התכונות הבאות:

• סגירות קבוצת התמורות להרכבה. כלומר, אם $\sigma ,\tau$ הן תמורות על הקבוצה $X$ , גם הרכבתן היא תמורה על $X$ .
• קיום תמורה הופכית. אם $\sigma$ היא תמורה על $X$ אז יש תמורה $\sigma ^{-1}$ על $X$ שהרכבתן היא תמורת הזהות ${\text{id}}$ (התמורה שאינה משנה כלל את סדר האיברים). כלומר

$\sigma \circ \sigma ^{-1}=\sigma ^{-1}\circ \sigma ={\mbox{id}}$

• הרכבת תמורות היא פעולה אסוציאטיבית.

משלוש התכונות לעיל עולה שאוסף כל התמורות על קבוצה $X$ מהווה חבורה עם הפעולה של הרכבת תמורות. חבורה זו מסומנת $S_{X}$ ונקראת החבורה הסימטרית.

משפט: אם $X$ קבוצה סופית בעלת $n$ איברים אז $|S_{X}|=n!$ .

הוכחה: עבור האבר הראשון ישנם $n$ מקומות שיבוץ. עבור כל אפשרות כזו ישנם $n-1$ מקומות שיבוץ עבור האבר השני. עבור כל אפשרות כזו... וכן הלאה עבור כל האברים. נקבל בסך הכול

$n\times (n-1)\times \cdots \times 2\times 1=n!$

אפשרויות שיבוץ, על פי עקרון הכפל שבקומבינטוריקה; ולכן יש $n!$ תמורות אפשריות.

סוגי תמורות

קל להבין את סוגי התמורות השונות, אם נסתכל על הקבוצה $\{1,\ldots ,n\}$ . במצב ההתחלתי, כל איבר נמצא במקום המתאים לו (האיבר 2, למשל, נמצא במקום השני). כאשר אנו מתארים תמורה אנו בעצם אומרים לגבי כל איבר לאיזה מקום הוא עובר. למשל: "האיבר 3 עובר למקום 5" פירושו הוא שבסדר החדש (סידור המספרים בשורה אחרי ביצוע התמורה, כלומר - הפעלת הפונקציה על כל אחד מהם) המספר 3 יופיע במקום החמישי. בהמשך לא תמיד נציין "איבר" או "מקום" ונשתמש בביטויים כמו "a עובר ל־b" או "c מחליף את d" וכדומה.

חילוף

• תמורה זו מסומנת (a b), והיא פשוט מחליפה בין האיברים a ו־b.
• למשל: הפעלת החילוף (2 1) על הקבוצה {3 2 1} מחזירה {3 1 2}.

מחזור

• מחזור (או מעגל) הוא תמורה הפועלת על קבוצת מספרים באופן מעגלי: האיבר $a_{1}$ עובר למקום $a_{2}$ , האיבר $a_{2}$ עובר ל־$a_{3}$ , עד לאיבר $a_{r-1}$ העובר ל־$a_{r}$ , והאיבר האחרון בסדרה, $a_{r}$ עובר ל־$a_{1}$ . בשל חשיבותן הרבה של תמורות מסוג זה לגבי פעולות ב{{|חבורה הסימטרית}}, יש להן סימון מיוחד: $(a_{1},\ldots ,a_{r})$ . מסימון זה מובן גם שהתמורה אינה מזיזה ממקומם איברים שאינם מופיעים ברשימה $a_{1},\ldots ,a_{r}$ . למשל: המחזור (4 3 2) מעביר את 2 ל־3, את 3 ל־4, את 4 ל־2, ומותיר (למשל) את 1 במקומו.
• חילוף הוא מקרה פרטי של מחזור: כאשר במחזור שני איברים בלבד הוא שקול לחילוף.

פירוק למחזורים

ניתן לפרק כל תמורה יחידה למחזורים זרים. למשל, התמורה

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&1&2&4&6&5\end{pmatrix}}$

ניתנת לפירוק $\sigma =(132)(56)$ . בפירוק לרוב משמיטים את המחזורים באורך אחד (בדוגמה זו זהו המחזור $(4)$), כיוון שמחזור באורך אחד הוא למעשה תמורת הזהות.

מבנה המחזורים של התמורה, כלומר אורך המחזורים הזרים ומספרם, מספק מידע חשוב לגבי התמורה. לדוגמה, סדר התמורה הוא המכפלה המשותפת המינימלית של אורכי המחזורים. בנוסף, הפירוק למחזורים זרים הוא שמורה תחת איזומורפיזמים: אם $\tau$ תמורה כלשהי, אז להצמדה $\tau \sigma \tau ^{-1}$ יש את אותו מבנה מחזורים של $\sigma$ .

כשגודל התמורה שואף לאינסוף, תוחלת האורך של המחזור הארוך ביותר של תמורה שואף להיות לינארי בגודל התמורה כאשר המקדם הוא קבוע גולומב-דיקמן.

סימן של תמורה

כל תמורה אפשר להציג כהרכבה של חילופים, בדרכים שונות. אף על פי שמספר החילופים אינו קבוע, הזוגיות של מספר זה לא תלויה בהצגה. בהתאם לכך, התמורה האמורה היא תמורה "זוגית", כלומר בעלת סימן "1+"; או "אי-זוגית", כלומר בעלת סימן "1-". לדרך זו של הקצאת סימנים לתמורות יש תכונה חשובה: הסימן של מכפלת תמורות שווה למכפלת הסימנים, כך שהעתקת הסימן $\operatorname {sgn} :S_{n}\to \{+1,-1\}$ מהווה הומומורפיזם. הגרעין של הומומורפיזם זה הוא חבורת התמורות הזוגיות.

הגדרות שקולות לסימן של תמורה

1. הסימן של $\sigma$ הוא $\operatorname {sgn}(\sigma )={\frac {\prod \limits _{i<j}(x_{j}-x_{i})}{\prod \limits _{i<j}(x_{\sigma (j)}-x_{\sigma (i)})}}$ , כאשר $x_{1},\ldots ,x_{n}$ משתנים. התוצאה היא תמיד מספר, השווה $\pm 1$ .
2. $(-1)^{|{(i,j)|i<j,\sigma (i)>\sigma (j)}|}$
3. מייצגים את התמורה באמצעות קווים שנמתחים בין השורה $1,\ldots ,n$ לבין אותה השורה. זוגיות מספר ההצטלבויות שלהם היא זוגיות התמורה.
4. מייצגים את התמורה באמצעות קווים שנמתחים בין השורה $\sigma (1),\ldots ,\sigma (n)$ לבין אותה השורה. זוגיות מספר ההצטלבויות שלהם היא זוגיות התמורה.
5. מפרקים את התמורה ל-$k$ מחזורים זרים, כולל נקודות השבת. זוגיות התמורה היא זוגיות המספר $n-k$ .
6. מפרקים את התמורה ל-$t$ מחזורים כלשהם, ונניח כי $m$ מחזורים מתוכם באורך זוגי. זוגיות התמורה היא זוגיות המספר $m$ .

תמורות ושעשועים מתמטיים

חידת ה-15

קובייה הונגרית

תמורות משחקות תפקיד גם בחידות ומשחקים רבים. משחקים לשחקן בודד כגון חידת ה-15 וחידת הקובייה ההונגרית הם למעשה משחקי תמורות. לדוגמה בחידת ה-15 המספרים מ-1 עד 15 כתובים על לוחיות המסודרות במטריצה בגודל 4X4, כאשר אחת המשבצות נותרת ריקה. במשחק בכל מהלך ניתן להזיז אל תוך המשבצת הריקה את אחת הלוחיות הסמוכות אליה. מטרת המשחק היא לשנות את המיקום של הלוחיות בעלות המספרים 14 ו-15. את המשחק ניתן לראות כמשחק תמורות. כל מצב במשחק מהווה תמורה על 16 איברים (כולל המשבצת הריקה) וחוקי המשחק מתארים את הפעולות המותרות למעבר מתמורה אחת לאחרת. מכאן שהמצבים שניתן להגיע אליהם במשחק מהווים חבורה, שהיא תת-חבורה של כל התמורות על 16 איברים. התרגום של החידה לשפה מתמטית תהיה: "האם למצב ההתחלתי ולמצב הסופי אותה זוגיות?", התשובה לכך שלילית: כלומר לא ניתן לפתור את המשחק.

גם הקובייה ההונגרית, שהומצאה על ידי ארנו רוביק בשנת 1974 היא דוגמה למשחק תמורות, אם כי מורכב יותר.

ראו גם

• תורת החבורות
• החבורה הסימטרית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0