אוגניו בלטרמי
אוגניו בלטרמי (Eugenio Beltrami; 16 בנובמבר 1835 – 18 בפברואר 1900) היה מתמטיקאי איטלקי הזכור בשל התרומות החשובות שלו לגאומטריה דיפרנציאלית, יסודות הגאומטריה הלא־אוקלידית ופיזיקה מתמטית. עבודתו ראויה לציון במיוחד בשל בהירות ההצגה של רעיונותיו. הוא היה הראשון שהוכיח את העקביות של הגאומטריה הלא־אוקלידית באמצעות מידולה על גבי משטח בעל עקמומיות שלילית קבועה, הפסאודוספירה, ובתוך ספירת היחידה, במה שנקרא מודל קליין-בלטרמי. הוא גם פיתח את טכניקת הפירוק לערכים סינגולריים של מטריצות, שהתגלתה מאז מחדש מספר פעמים. השימוש שעשה בחשבון אינפיניטסימלי לצורך פתרון בעיות בפיזיקה מתמטית השפיע בעקיפין על פיתוח החשבון הטנזורי.
תרומותיו לגאומטריה לא־אוקלידית
ב-1868 בלטרמי פרסם שני מאמרים שעסקו בעקביות ובפרשנויות לגאומטריה הלא־אוקלידית של בויאי ולובצ'בסקי. במאמרו "חיבור על פרשנות של גאומטריה לא-אוקלידית", בלטרמי הציע שהגאומטריה הזאת ניתנת למימוש על פני משטח בעל עקמומיות גאוס שלילית קבועה, הפסאודוספירה. בהמשגה של בלטרמי, ישרים של הגאומטריה הזאת הם קווים גאודזיים על הפסאודו־ספירה ומשפטים בגאומטריה לא־אוקלידית ניתנים להוכחה במסגרת המרחב האוקלידי התלת־ממדי "הרגיל", מבלי לגזור אותן בסגנון אקסיומטי, כפי שבויאי ולובצ'בסקי עשו קודם. ב-1840, פרדיננד מיינדינג בחן משולשים גאודזיים על הפסאודו־ספירה וציין שהקשרים הטריגונומטריים המתאימים לצלעות ולזוויות של משולשים כאלו ניתנים לגזירה מהנוסחאות הטריגונומטריות של הטריגונומטריה הספירית באמצעות החלפת הפונקציות הטריגונומטריות הרגילות בפונקציות היפרבוליות; את עבודה זאת המשיך Codazzi ב-1857, אבל לפחות למראית עין אף אחד מהשניים לא הבחין בקשר בין ממצאים אלו לעבודתו של לובצ'בסקי. בהמשך לעבודה זאת של מיינדינג, בלטרמי ניסה להראות שגאומטריה לא־אוקלידית דו־ממדית תקפה בדיוק כמו הגאומטריה האוקלידית של המרחב, ובמיוחד, שאקסיומת המקבילים של אוקלידס לא ניתנת לגזירה מהאקסיומות האחרות של הגאומטריה האוקלידית. לעיתים נטען כי הוכחה זאת לא הייתה שלמה עקב נקודות הסינגולריות של הפסאודו־ספירה, מה שאומר שעקומות גאודזיות לא ניתנות להרחבה ללא סוף. עם זאת, ההיסטוריון John Stillwell ציין כי בלטרמי היה מודע היטב לקשיים הללו, שבאים לידי ביטוי גם בעובדה שהפסאודו־ספירה היא גליל מבחינה טופולוגית (ולכן עקומים עליה אינם כוויצים), ולא מישור, כך שבחלק גדול ממאמרו הוא ניסה לעקוף בעיה זאת. באמצעות בחירה מתאימה של קואורדינטות, בלטרמי הראה איך המטריקה על הפסאודו־ספירה ניתן להעברה אל דיסק היחידה ושהסינגולריות של הפסאודו־ספירה מתאימה להורוציקל על המישור הלא־אוקלידי. מצד שני, במבוא למאמר שלו, בלטרמי טוען שזה בלתי אפשרי להצדיק "את שאר התאוריה של לובצ'בסקי", כלומר את הגאומטריה הלא־אוקלידית של המרחב, בעזרת שיטה זאת.
במאמר שני שפורסם במהלך אותה שנה (1868) – "תאוריה של מרחבים בעלי עקמומיות קבועה", בלטרמי המשיך את הלוגיקה הזאת ונתן הוכחה מופשטת של העקביות של הגאומטריה ההיפרבולית והגאומטריה האוקלידית בכל מספר של ממדים. הוא השיג זאת באמצעות הצגת מספר מודלים של גאומטריה לא־אוקלידית, שכת ידועים בשמם מודל קליין-בלטרמי, מודל הדיסק של פואנקרה ומודל חצי המישור העליון, יחד עם הטרנספורמציות המעבירות מודל אחד למשנהו. במקרה של מודל חצי המישור העליון, בלטרמי ציטט הערה של ז'וזף ליוביל על חיבור של גספאר מונז' על גאומטריה דיפרנציאלית. בלטרמי הראה גם שגאומטריה אוקלידית ־ממדית ניתנת למימוש על פני ההורוספירה של המרחב ההיפרבולי ה־־ממדי, כך שהיחס הלוגי בין העקביות של הגאומטריה האוקלידית והעקביות של הגאומטריה הלא־אוקלידית הוא סימטרי. בלטרמי הכיר בחשיבותה של העבודה המהפכנית של רימן מ־1854 ("על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה") לפיתוח רעיונותיו.
אף על פי שמאמריו אלו של בלטרמי נחשבים כיום כחשובים ביותר להתפתחות הגאומטריה הלא־אוקלידית, הקבלה של רעיונותיו בתקופה בה פורסמו הייתה פחות נלהבת. לואיג'י קרמונה התנגד ללוגיקות מעגליות מסוג זה, מה שאף אילץ את בלטרמי לדחות את הפרסום של מאמריו בשנה אחת. בעקבות קרמונה, פליקס קליין נכשל לזהות את זכות הקדימות של בלטרמי בבניית מודל הדיסק הפרויקטיבי של הגאומטריה הלא־אוקלידית. את תגובות אלו ניתן לייחס לחדשנות של צורת המחשבה של בלטרמי, שהייתה דומה לרעיונות של רימן בנוגע ליריעות אבסטרקטיות.
