פונקציות טריגונומטריות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
בראש התמונה מוצגת הפונקציה הטריגונומטרית סינוס (sin) עבור הזוויות θ, π − θ, π + θ ו-2π − θ בארבעת הרבעים של מעגל היחידה. בתחתית התמונה מוצג הגרף של פונקציית הסינוס, כשהזוויות מראש התמונה מודגשות

במתמטיקה, הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות של זווית. הן משמשות לקשור בין הזוויות במשולש לאורכי צלעותיו. הפונקציות הטריגונומטריות המוכרות ביותר הן סינוס, קוסינוס וטנגנס. הפונקציות הטריגונומטריות חשובות במחקר המשולשים, במידול תופעות מחזוריות ובשימושים רבים נוספים. שני משפטים בסיסיים הנוגעים לפונקציות הטריגונומטריות הם משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים.

הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר־זווית

Rtriangle.png
הפונקציות סינוס וקוסינוס על מערכת הצירים

כאשר היא זווית סמוכה ליתר במשולש ישר-זווית ( במעלות או ברדיאנים):

  • סינוס של הזווית מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש; בדוגמה המופיעה בתרשים
  • קוסינוס של הזווית הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש; בדוגמה המופיעה בתרשים
השם קוסינוס הוא קיצור של complement sines – סינוס הזווית המשלימה.
ההגדרות לעיל לא תקפות עבור הזווית 0 והזווית הישרה; עבור זוויות אלה מוגדרים ערכי הסינוס כ־0 ו־1 בהתאמה, וערכי הקוסינוס כ־1 ו־0 בהתאמה. ערכים אלה הם הגבולות של היחסים המתאימים. הגדרות אחרות של הפונקציות הטריגונומטריות (להלן) אינן דורשות טיפול מיוחד בזוויות אלה.
  • טנגנס של הזווית הוא היחס בין הניצב שמול הזווית והניצב שליד הזווית; בדוגמה המופיעה בתרשים
הטנגנס מתקבל גם על ידי חלוקת סינוס בקוסינוס, וניתן להגדיר אותו לאורך כל הישר הממשי בעזרת ההגדרות המורחבות של פונקציות אלה (להלן). הטנגנס לא מוגדר עבור הזוויות (כאשר מספר שלם), שכן הקוסינוס של זוויות אלה הוא 0.

בגאומטריה אנליטית, כאשר מייצגים ישר על ידי משוואה אפינית , הקבוע הוא טנגנס הזווית שבין הישר ובין כיוונו החיובי של ציר X.

הפונקציות מקיימות כאשר הזוויות נתונות ברדיאנים.

ממשפט פיתגורס נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל־1.

לכל אחת מפונקציות אלו מוגדרת גם פונקציה שערכה הוא ההופכי הכפלי של ערך הפונקציה:

  • קוטנגנס של זווית הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית לבין הניצב הרחוק ממנה, כלומר ערכו הוא ההופכי של הטנגנס. בדוגמה המופיעה בתרשים
הקוטנגנס שווה ליחס בין הקוסינוס של זווית לסינוס של אותה זווית. לכן, הוא לא מוגדר עבור כפולות שלמות של 180° (שהסינוס שלהן הוא 0).
  • סקאנט[1] של זווית שווה , כלומר ערכו ההופכי של הקוסינוס.
  • קוסקאנט של זווית שווה , כלומר ערכו ההופכי של הסינוס.

על ידי צמצום לתחום מתאים, הפונקציות הטריגונומטריות הופכות לפונקציות הפיכות. הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות מסומנות:

וערכן היא הזווית שנותנת את היחס הטריגונומטרי .

הטבלה הבאה מסכמת את הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות, הפונקציות ההפוכות ופונקציות הערך ההופכי שלהן. את פונקציית הקוסקאנט רושמים לעיתים בצורה הארוכה יותר cosec במקום csc.

פונקציה פונקציה הפוכה הופכי של הפונקציה הופכי של הפונקציה ההפוכה
סינוס sin arcsine arcsin cosecant csc arccosecant arccsc
קוסינוס cos arccosine arccos secant sec arcsecant arcsec
טנגנס tan arctangent arctan cotangent cot arccotangent arccot

הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

4 הפונקציות הבסיסיות על מעגל היחידה

מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס של יחידה אחת, המציג באופן גרפי את הפונקציות הטריגונומטריות.

הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר־זווית, בהן או , על ידי הגדרתן באמצעות הקואורדינטות של מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית הוא קואורדינטת ה־ של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון החל מקרן המספרים החיוביים בציר X לאורך זווית , וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה־ של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור , שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא תמיד 1. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.

לסיכום:

  • סינוס הוא ערך ה־ של הנקודה
  • קוסינוס הוא ערך ה־ של הנקודה
  • טאנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה או היחס בין סינוס לקוסינוס
  • קוטנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה או היחס בין קוסינוס לסינוס

מעגל היחידה מהווה שיטה נוחה לזכור את הסימן (+/-) של ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.

קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – קירוב זוויות קטנות

את טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות אפשר למצוא בעזרת חישובי נגזרות, שהבסיס להם הוא הגבול של sin(x)/x. הטורים המתקבלים הם:

(כל החישובים נעשים ברדיאנים). פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פונקציות אנליטיות. טורי טיילור שלהן מתכנסים אליהן במידה שווה על כל קבוצה קומפקטית בישר הממשי ובפרט בכל קטע סגור. הטורים לא מתכנסים במידה שווה על כל הישר בבת אחת.

כדי לקבל קירובים טובים לפונקציות צריך באופן כללי לחשב כמה שיותר אברים בטור. עם זאת, קצב התכנסות הטורים תלוי במרחק מהאפס – עבור נקודות הקרובות לאפס הטורים מתכנסים מהר מאד וככל שמתרחקים ממנו הטורים מתכנסים יותר לאט. מהסיבה הזו נוח יותר להעריך את הפונקציות באמצעות טור טיילור עבור זוויות הקרובות יחסית לאפס, ולהשתמש ככל הניתן בזהויות טריגונומטריות כדי לקבל תוצאות עבור זוויות גדולות יותר. למשל, כדי לחשב את ניתן להשתמש בנוסחה ולחשב רק את , וזווית זו קרובה יחסית לאפס.

קירוב מסדר ראשון ושני של פונקציות אלו נמצא בשימוש נרחב בניתוחים פיזיקליים שונים ונקרא קירוב זוויות קטנות.

הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים

פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית

פתרון של משוואה זו בשדה המספרים המרוכבים הוא פונקציית האקספוננט של מספר דמיוני טהור. נוסחת אוילר מקשרת בין פונקציית האקספוננט הדמיוני והפונקציות הטריגונומטריות:

מזוגיות הפונקציות הטריגונומטריות מקבלים

ולכן:

הצגה זו של הפונקציות הטריגונומטריות מאפשרת לנו להרחיב את תחום ההגדרה שלהן לשדה המספרים המרוכבים. בדרך זו מתקבלות פונקציות הולומורפיות במקרה של סינוס וקוסינוס ופונקציות מרומורפיות במקרה של טנגנס וקוטנגנס.

סינוס של זוויות רציונליות

מהצבה בפולינום צ'בישב נובע שהסינוס של זווית (ברדיאנים) שהיא כפולה רציונלית של הוא תמיד מספר אלגברי. עם זאת, הערך אינו יכול להיות מספר רציונלי, אלא אם הזווית היא כפולה של . תכונה זו נכונה גם לקוסינוס.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ נקרא גם חותך. (למשל בחזון אי"ש או"ח סימן קט"ו ס"ק ל"ג סד"ה כשם)


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0