אינטגרל הנסטוק

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, אינטגרל הנסטוק הוא הגדרה אפשרית לאינטגרל של פונקציה, המהווה הכללה להגדרה של אינטגרל רימן וכן בשימושים מסוימים יעיל יותר מאינטגרל לבג.

הגדרה

ההגדרה של אינטגרל הנסטוק כמעט זהה לזו של אינטגרל רימן (ולכן פשוטה בהרבה מזו של אינטגרל לבג), ונקבעת כך:

תהי פונקציה ממשית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:[a,b]\to\R} ותהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} חלוקה מסומנת של הקטע, נניח:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=u_0<u_1<\cdots<u_n=b,\ t_i\in[u_{i-1},u_i]}

נגדיר את סכום רימן של החלוקה להיות: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_Pf=\sum_{i=1}^n(u_i-u_{i-1})f(t_i)}

הוא ערך האינטגרל של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בקטע, אם ורק אם לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon\in\R^+} קיימת פונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta:\R\to\R^+} כך שלכל חלוקה מסומנת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} המקיימת

מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big|\sum_Pf-I\Big|<\varepsilon}

ואז נגיד גם כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אינטגרבילית בקטע לפי הנסטוק.

תכונות

קל לראות שהגדרה זו כמעט זהה לזו של אינטגרל רימן, למעשה אם דורשים שהפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta} תהיה קבועה, מקבלים את אינטגרל רימן כפי שהוא. מה שמראה בקלות שכל פונקציה אינטגרבילית רימן גם אינטגרבילית הנסטוק (נקח דלתא כפונקציה קבועה).

ניתן להראות גם שאין צורך בהגדרה מיוחדת ל"אינטגרלים לא-אמיתיים" בקטע סופי – כל פונקציה אינטגרבילית (באופן לא-אמיתי) רימן בקטע, אינטגרבילית (כרגיל) הנסטוק, וערך האינטגרלים זהה.

מעבר לכך – הגדרה זו גם מכלילה את זו של אינטגרל לבג. למעשה – פונקציה אינטגרבילית לבג אם ורק אם היא אינטגרבילית הנסטוק וגם הרכבת הערך המוחלט עליה אינטגרבילית הנסטוק.

תכונה חשובה נוספת של אינטגרל הנסטוק הוא הקשר למשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי:

תהי פונקציה גזירה בכל מקום ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} . אזי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)-f(a)=\int\limits_a^xf'(t)dt}