אלסטיות ליניארית

גמישות ליניארית היא מודל מתמטי של האופן שבו עצמים מוצקים מתעוותים וחווים מאמצים פנימיים עקב תנאי עמיסה שנקבעו. זהו פישוט של התיאוריה הלא ליניארית הכללית יותר של אלסטיות וענף של מכניקת הרצף.

הנחות היסוד שמאפשרות לפתח תורה ליניארית לאלסטיות הן: מעוות אינפיניטימלי או עיוותים (או מעוותים) "קטנים" ויחסים ליניאריים בין מרכיבי המאמץ והמעוות. בנוסף, אלסטיות ליניארית תקפה רק למצבי מאמץ שאינם מייצרים כניעה.

הנחות אלו סבירות עבור חומרים הנדסיים רבים ותרחישי תכנון הנדסי. לכן נעשה שימוש נרחב באלסטיות ליניארית בניתוח מבני ובתכנון הנדסי, לעיתים קרובות בעזרת ניתוח אלמנטים סופיים.

ניסוח מתמטי

המשוואות המתארות את בעיית תנאי שפה אלסטי ליניארי מבוססות על שלוש משוואות טנזוריות דיפרנציאליות חלקיות עבור איזון התנע ליניארי ושישה יחסי מעוות אינפיניטסימליות-העתק. מערכת המשוואות הדיפרנציאליות מושלמות על ידי אוסף של יחסים מכוננים אלגבריים ליניאריים.

ניסוח טנזורי

בצורה טנזורית, שאינה תלויה בבחירת מערכת הקואורדינטות, המשוואות השולטות אלה הן:

• משוואת תנועה, שהיא ביטוי לחוק השני של ניוטון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{F} = \rho \ddot{\mathbf{u}} }

• משוואות מעוות-העתק:

$${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]$$

• משוואות מכוננות. עבור חומרים אלסטיים, חוק הוק מייצג את התנהגות החומר ומקשר בין המאמצים ומעוותים הלא ידועים. המשוואה הכללית לחוק הוק היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{C}:\boldsymbol{\varepsilon}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma}} הוא טנזור המאמץ של קושי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}} הוא טנזור המעוות האינפיניטסימלי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{u}} הוא וקטור ההעתק, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathsf{C}} הוא טנזור הקשיחות מסדר רביעי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}} הוא סך הכוחות הפנימיים ליחידת נפח, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} היא צפיפות המסה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\nabla}} מייצג את האופרטור nabla, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\bullet)^\mathrm{T}} מייצג שחלוף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ddot{(\bullet)}} מייצגת את הנגזרת השנייה בזמן, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathsf{A}:\mathsf{B} = A_{ij}B_{ij}} הוא המכפלה הפנימית של שני טנזורים מסדר שני (הסימון מותאם לסכימת איינשטיין).

הצגה במערכת קוא' קרטזית

תבנית:Einstein summation conventionהערה: בהמשך הקטע נעשה שימוש בסכימת איינשטיין.

כאשר מבטאים במונחי רכיבים במערכת קואורדינטות קרטזית (מלבנית), המשוואות המתארות אלסטיות ליניארית הן:

• משוואות תנועה: כאשר הסימון ${(\bullet )}_{,j}$ הוא קיצור של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial(\bullet)}{\partial x_j}} , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial_{tt}} מסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_{ij}} הוא טנזור המאמץ של קושי (והוא סימטרי), הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i} הוא וקטור צפיפות הכוחות הפנימיים בגוף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} היא צפיפות המסה, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i} הוא ההעתק. אלו הן 3 משוואות עצמאיות עם 6 נעלמים (מאמצים) בלתי תלויים. בניסוח הנדסי, הם:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + F_x = \rho \frac{\partial^2 u_x}{\partial t^2} \\ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + F_y = \rho \frac{\partial^2 u_y}{\partial t^2} \\ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + F_z = \rho \frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2} \end{align}}
• משוואות מעוות-העתק:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} (u_{i,j}+u_{j,i})} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon} הוא המעוות, והוא טנזור סימטרי. אלו הן שישה משוואות בלתי תלויות עבור המעוות וההעתק עם 9 נעלמים. בסימון הנדסי הם:

• משוואות מכוננות: המשוואה לחוק הוק היא:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl} }

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אלסטיות ליניארית37079871Q1913277