משוואה ליניארית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משוואה ליניארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות. הצורה הכללית של משוואה ליניארית היא זאת: $α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2} + . . . + α_{n} x_{n} = b$ . משוואה כזו נקראת "משוואה ליניארית ב-n נעלמים". האיברים $x_{i}$ נקראים הנעלמים במשוואה, והאיברים $α_{i}$ נקראים המקדמים של הנעלמים. האיבר b נקרא מקדם חופשי. מקדמי המשוואה הם סקלרים השייכים לשדה ידוע, כגון שדה המספרים הממשיים, או לחוג כללי יותר.

פתרון של המשוואה הוא n-יה $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ כך שהצבת הערכים המספריים $a_{i}$ במקום הנעלמים $x_{i}$ תניב את השוויון המבוקש.

בלשון פיזיקלית, לנעלמים נהוג לקרוא דרגות חופש ולמשוואות נהוג לקרוא אילוצים. מכיוון שמערכות של משוואות ליניאריות הן הסוג היחיד של משוואות שאפשר לפתור באופן מלא (כלומר, יש שיטה לחשב באופן אנליטי את כל הפתרונות, דבר שלא קיים עבור מערכות משוואות לא ליניאריות) יש חשיבות רבה ליכולת להמיר משוואות אחרות לצורה ליניארית, או לפחות לקרב באופן ליניארי מצבים מורכבים יותר.

משתנה אחד

במקרה של משתנה אחד בלבד, למשוואה הליניארית קיים בדיוק פתרון אחד (בתנאי ש - $a \neq 0$ ). לעיתים, המונח "משוואה ליניארית" מתייחס במובלע למקרה הספציפי הזה, שבו המשתנה נקרא באופן טבעי "הנעלם".

במקרה זה המשוואה היא מהצורה: $a x = b$ ופתרונה הוא $x = - b / a$ .

שני משתנים: תיאור קו ישר במישור

אם $b \neq 0$ , אזי המשוואה: $a x + b y = c$

היא משוואה ליניארית במשתנה היחיד $y$ עבור כל ערך של $x$ . לכן יש לה פתרון ייחודי עבור $y$ , הניתן על ידי:

$y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$

משמעות גאומטרית

רנה דקארט הראה שאפשר לתאר את המישור האוקלידי באמצעות מערכת צירים קרטזית. במערכת זו, ישנו ציר אופקי שנקרא ציר ה-x וציר אנכי, הניצב לו, שנקרא ציר ה-y. אפשר לחשוב על כל ציר כמעין "סרגל" שמאפשר לתת לכל נקודה במישור שני מספרים המתארים את מיקומה.

כאשר $b \neq 0$ המשוואה הליניארית בשני משתנים מגדירה פונקציה. הגרף של פונקציה זו הוא קו ישר עם שיפוע $- \frac{a}{b}$ וחיתוך עם ציר $y$ $- \frac{c}{b}$ .

הישר מקביל לציר ה-x אם $a = 0$ ומקביל לציר ה-y אם $b = 0$ .

האופן הנפוץ לכתוב משוואת קו ישר הוא

y = m x + n

כאשר m הוא שיפוע הישר, ו-n הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y (קל לראות שעבור $x = 0$ מקבלים $y = n$ ). באמצעות טריגונומטריה ניתן להראות ש-

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \tan θ

כאשר $θ$ היא הזווית בין הישר לציר ה-x.

משוואת ישר עם שיפוע m שעובר דרך הנקודה (a,b) נתונה על ידי

y - b = m \cdot (x - a)

או באופן שקול

y = m x + b - a m

.

משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות $(a_{1}, b_{1}) (a_{2}, b_{2})$ (בהנחה ש- $a_{1} \neq a_{2}$ , המקרה בו הם שווים הוא טריוויאלי) היא

y = \frac{b_{2} - b_{1}}{a_{2} - a_{1}} (x - a_{2}) + b_{2} = \frac{b_{2} - b_{1}}{a_{2} - a_{1}} \cdot x - a_{2} \frac{b_{2} - b_{1}}{a_{2} - a_{1}} + b_{2}

.

פיתוח הנוסחה: משתמשים במשוואה הקודמת, עם הצבת

a = a_{2}, b = b_{2}

והשיפוע m שנתון על ידי

m = \frac{b_{2} - b_{1}}{a_{2} - a_{1}}

.

הצבת כל אלה תיתן

y - b_{2} = \frac{b_{2} - b_{1}}{a_{2} - a_{1}} \cdot (x - a_{2})

ומכאן קל להגיע לנוסחה הרשומה לעיל.

יותר משני משתנים

משוואה ליניארית עם יותר משני משתנים ניתן לכתוב בצורה הבאה:

$a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} + b = 0 .$

כאשר כל $a_{j} \neq 0$ , ניתן למצוא פתרון לכל $x_{j}$ באופן הבא:

$x_{j} = - \frac{b}{a_{j}} - \sum_{i \in {1, \dots, n}, i \neq j} \frac{a_{i}}{a_{j}} x_{i} .$

מערכת משוואות ליניאריות

ערך מורחב – מערכת משוואות ליניאריות

במקרים רבים יש לפתור מערכת משוואות ליניארית, כלומר קבוצה של מספר משוואות ליניאריות, ולא משוואה בודדת. במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:

$α_{11} x_{1} + α_{12} x_{2} + . . . + α_{1 n} x_{n} = b_{1}$

$α_{21} x_{1} + α_{22} x_{2} + . . . + α_{2 n} x_{n} = b_{2}$

:

$α_{m 1} x_{1} + α_{m 2} x_{2} + . . . + α_{m n} x_{n} = b_{m}$

זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים. נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו מציין את השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני מציין את מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם.

מערכת משוואות שבה $b_{1} = b_{2} = . . . = b_{m} = 0$ תיקרא מערכת משוואות הומוגנית.

הצגה באמצעות מטריצות

את מערכת המשוואות נוח להציג בצורה מטריציונית. בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כווקטור עמודה $\vec{x}$ מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר $m \times n$ ואילו m-ית המקדמים החופשיים $\vec{b}$ מוצגת כווקטור עמודה מממד m. בצורה זו המערכת תיוצג כשוויון בין מכפלת מטריצת המקדמים בווקטור הנעלמים לבין וקטור המקדמים החופשיים. כלומר: $A \vec{x} = \vec{b}$ . באופן מפורש:

(\begin{matrix} α_{11} & \dots & α_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ α_{m 1} & \dots & α_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})

ראו גם

משוואה דיפרנציאלית ליניארית

קישורים חיצוניים

מבוא לאלגברה ליניארית, פרק ב', אמנון יקותיאלי, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
משוואה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)
משוואה ליניארית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משוואה ליניארית41103064Q484637

נושאים באלגברה ליניארית
מושגי יסוד	שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה
וקטורים	סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשֹת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד
מטריצות	כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן
העתקות	העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית
מרחבי מכפלה פנימית	מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה
תבניות	תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור

פולינום
משוואות פולינומיות לפי מעלה	משוואה ליניארית (1) • משוואה ממעלה שנייה (2) • משוואה ממעלה שלישית (3) • משוואה ממעלה רביעית (4) • משוואה ממעלה חמישית (5) • משוואה ממעלה שישית (6) • משוואה ממעלה שביעית (7)
פונקציות פולינומיות לפי מעלה	פונקציה ממעלה שלישית
אישים הקשורים במציאת פתרונות או הוכחת אי פתירות	לודוביקו פרארי • מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי • אברהם בר חייא • שיפיונה דל פרו • ניקולו טרטליה • ג'ירולמו קרדאנו • נילס הנריק אבל • אווריסט גלואה • פאולו רופיני • פליקס קליין • ולדימיר ארנולד
כללי	היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות • משפט אבל-רופיני • תורת גלואה • הבעיה השלוש-עשרה של הילברט • פתרון באמצעות רדיקלים • רדיקל ברינג • i (מספר)

משוואה ליניארית

תוכן עניינים

משתנה אחד

שני משתנים: תיאור קו ישר במישור

משמעות גאומטרית

יותר משני משתנים

מערכת משוואות ליניאריות

הצגה באמצעות מטריצות

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: ליניארי
ערך מילוני בוויקימילון: משואה ליניארית

משוואה ליניארית

משתנה אחד

שני משתנים: תיאור קו ישר במישור

משמעות גאומטרית

יותר משני משתנים

מערכת משוואות ליניאריות

הצגה באמצעות מטריצות

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

חיפוש