העתק (פיזיקה)

וקטור ההעתק לעומת הדרך שעשה גוף לאורך מסלול

במכניקה קלאסית, העתק הנו הוקטור הקצר ביותר המחבר בין נקודת מדידה התחלתית של מיקום גוף לנקודת מדידה סופית של מיקום הגוף. כיוונו של וקטור ההעתק הוא ככיוון ישר דמיוני המחבר את שתי הנקודות וגודלו כאורך הישר.

דרך נוספת להגדיר העתק היא כהפרש בין וקטור מיקום הגוף בסוף התנועה לוקטור מיקומו בתחילת התנועה. וקטור ההעתק אינו מושפע מהדרך בין נקודות המדידה בה עבר הגוף, אלא רק ממיקומו הסופי וההתחלתי של הגוף. כלומר אם מיקום הגוף בזמן $t_{1}$ הוא ${\vec {s}}_{1}$ וב־$t_{2}$ הוא ${\vec {s}}_{2}$ הרי שההעתק הנו

$\Delta {\vec {s}}={\vec {s}}_{2}-{\vec {s}}_{1}$

מכאן שדרך היא סכום כל ההעתקים שהגוף עובר מנקודת ההתחלה עד לנקודת הסיום.

$S=\Delta x_{1}+\cdots +\Delta x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\Delta x_{k}$

זהו גודל וקטורי אשר עשוי להשתנות על־פי הזמן (מיקום הגוף עשוי להשתנות בזמן אף הוא), על כן לעיתים קרובות מתייחסים להעתק כפונקציה של פרמטר הזמן ${\vec {s}}(t)$ .

כאשר מוסיפים התייחסות לממד הזמן לאורך תנועתו של הגוף וקטור ההעתק ייצג את המהירות הממוצעת של הגוף בין הנקודה ההתחלתית לנקודה הסופית ${\vec {\bar {v}}}={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}$ . ככל שהזמן בין שתי המדידות קטן, הדיוק בין המהירות הממוצעת למהירות בה עבר הגוף גדל וכך מגדירים את וקטור המהירות הרגעית כקצב שינוי וקטור ההעתק לאורך הזמן.

$${\vec {v}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {s}}(t+\Delta t)-{\vec {s}}(t)}{\Delta t}}$$

שימוש במהירות כהתייחסות רק לדרך שעבר הגוף לאורך הזמן לא יתן מידע על כיוון הגוף, אלא רק מידע על השינוי הכמותי בכמות הדרך שהגוף עובר, ואילו שימוש במהירות כשינוי וקטור ההעתק מכיל גם את גודל המהירות וגם את כיוונה.

באופן דומה וקטור התאוצה מוגדר כוקטור שינוי המהירות הרגעית של הגוף לאורך הזמן.

$${\vec {a}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {v}}(t+\Delta t)-{\vec {v}}(t)}{\Delta t}}$$

ולכן כדי למצוא את וקטור המהירות מבצעים סכימה (אינטגרציה) על וקטור התאוצה, וכדי למצוא את ההעתק מבצעים סכימה על וקטור המהירות.

$$\int {\vec {a}}\,dt={\vec {v}}\ ,\ \int {\vec {v}}\,dt=\Delta {\vec {x}}$$

גוף קשיח

כאשר מנתחים תנועה של גוף קשיח צריך וקטור ההעתק להכיל גם את התנועה הסיבובית אותה עבר הגוף, ולכן במקרה כזה ההעתק לאורך הדרך יקרא ההעתק הקוי של הגוף, וההעתק הסיבובי (המתאר את הזוית אותה עבר הגוף) יקרא העתק זויתי.

מערכות ייחוס

עקרון היחסות של גלילאו קובע שחוקי הפיזיקה הם זהים בכל שתי מערכות ייחוס הנעות במהירות קבועה זו יחסית לזו, ולכן אין אפשרות להבדיל בין מערכות הייחוס מי מהן נעה ומי מהן ניצבת, אלא ניתן לדבר רק על הפרש המהירויות בין שתי המערכות. מכאן שאין שום משמעות למיקום ללא מערכת ייחוס, ובהתאמה אין משמעות להעתק ללא מערכת ייחוס.

למשל, רכבת נעה במהירות ${\vec {u}}$ ונוסע הולך בתוך הרכבת במהירות ${\vec {v}}$ , אם מערכת הייחוס היא הרכבת עצמה, העתקו של האדם יבוטא לפי סכימת מהירות הליכתו כלומר,

$\int {\vec {v}}\,dt=t{\vec {v}}$

אך אם מערכת הייחוס היא מערכת אינרציאלית יחסית לרכבת אזי וקטור העתקו יבוטא על־ידי סכימת מהירות הרכבת בנוסף למהירות הנוסע כלומר,

$\int ({\vec {u}}+{\vec {v}})dt=t{\vec {u}}+t{\vec {v}}$

מכאן שבמערכות ייחוס שונות יהיו העתקים שונים לאותו הגוף שנע, ושיש חשיבות רבה לבחירת מערכת הייחוס ממנה מודדים את המיקום וההעתק של הגוף.

יחידות ההעתק

יחידת מערכת SI של ערכו הסקלרי של ההעתק, כמו גם של דרך, היא המטר.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא העתק בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0