בעיית גודארד

במדע הטילאות, בעיית גודארד עוסקת באופטימיזציה של הגובה אליו מגיעה רקטה, הנוסקת אנכית, בהתחשב בגרר האטמוספירי ובכוח הכבידה. ביותר דיוק, הבעיה מבקשת לדעת מהו פרופיל הדחף של המנוע הרקטי (הפונקציה המתארת את הדחף שהמנוע מפיק בתלות בזמן) הדרוש כדי להביא אותה לגובה המרבי האפשרי עבור כמות דלק נתונה. הבעיה הוצעה לראשונה על ידי רוברט גודארד בפרסומו "שיטה להגעה לגבהים קיצוניים" מ-1919.

מבוא אינטואיטיבי

הכוחות הפועלים על רקטה (הנוסקת אנכית) במעופה הם הדחף הרקטי שמפיק המנוע, כוח הכבידה (משקלה העצמי של הרקטה) וכוח התנגדות האוויר. על מנת שהרקטה תוכל בכלל להמריא, הדחף ההתחלתי המינימלי צריך להיות גדול ממשקלה העצמי. על מנת להביאה לגובה מרבי, שיקול ראשון הוא למזער את משך הזמן שבו מתרחש עיקר ההאצה של הרקטה: בהנחה שפיחות המסה של הרקטה במהלך נסיקתה (עקב צריכת הדלק) אינו משמעותי, כוח הכבידה פועל כגורם מעכב קבוע בגודלו, ולכן שיקול ברור הוא שכל אלמנט מסת דלק dm ייפלט במהירות מרבית מנחיר הפליטה ובכך יפעיל מתקף מרבי על גוף הרקטה - זאת כדי לנצל באופן מיטבי את הדלק הרקטי.

במילים אחרות, אלמלא היה פועל גרר על הרקטה (אם לא הייתה אטמוספירה), שיקול זה היה מביא מיידית למסקנה שהדחף צריך להיות המקסימלי האפשרי במשך כל שלב ההאצה. אולם הגרר האטמוספירי, שיחסי הן למהירות הרקטה והן לצפיפות האוויר המקומית, משתנה משמעותית במהלך נסיקת הרקטה. מכיוון שצפיפות האוויר יורדת מעריכית עם הגובה, הגיוני יותר להביא את הרקטה למהירות גבוהה דווקא היכן שצפיפות האוויר נמוכה יותר, כך שהתנגדות האוויר תגרע פחות מהגובה המרבי אליו תגיע. כלומר, בניגוד לשיקול הראשון, שיקול זה מביא למסקנה שכדאי יותר להתחיל עם דחף נמוך (כאשר צפיפות האוויר גבוהה), ולהגביר אותו ככל שצפיפות האוויר יורדת – זאת על מנת שהרקטה לא תנוע במהירות גבוהה היכן שצפיפות האוויר גבוהה. התחשבות דקדקנית בפרטי הגרר האטמוספירי למציאת פרופיל הדחף האופטימלי מצריכה כלים מתמטיים מיוחדים מתחום חשבון הווריאציות, וזאת משום שגרר אטמוספירי אינו כוח משמר (כמו כל כוחות החיכוך) ולכן אין זה אפשרי לתאר את מצבה האנרגטי של הרקטה על ידי פונקציית מצב שמשתניה הטבעיים הם גובהה, מהירותה וכמות הדלק שנותרה לה. כמות האנרגיה שהרקטה איבדה עקב הגרר תלויה בהיסטוריה המדויקת של מעופה האנכי, ולכן משוואת אוילר-לגראנז' אינה מועילה כאן.

מורכבות נוספת נובעת מירידת המסה של הרקטה עם הזמן, עובדה שמרמזת שכדאי לנצל את הדחף כאשר מסתה נמוכה יותר על מנת להשיג שינויי מהירות משמעותיים יותר. יש לשים לב שניתוח מתמטי פשוט מראה שבהיעדר גרר וכאשר שלב ההאצה של הרקטה קטן בהרבה באורכו מזמן מעופה, הגובה המרבי אליו תגיע לא תלוי כלל בפרופיל הדחף אלא שווה ל- $(v_f^2/2g)$ כאשר $v_f=u\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}(m_i/m_f)$ - כאן $u$ הוא המהירות הקבועה של פליטת הגזים מנחיר הרקטה (בהנחה שהדלק הרקטי אחיד, צפיפות האנרגיה של הבערה שלו קבועה, ולכן ניתן להניח שהדלק הרקטי נהדף לאחור במהירות קבועה בקירוב), $m_i$ היא מסת הרקטה ההתחלתית ו-$m_f$ היא מסתה הסופית (זוהי נוסחת ציולקובסקי). עם זאת, בפועל קיים גרר וגם שלב ההאצה לא בהכרח זניח באורכו מזמן המעוף - אדרבא, כפי שהוסבר בפסקה הקודמת, אופטימיזציה של הגובה דווקא מצריכה ניצול של ההאצה בגובה רב כאשר התנגדות האוויר נמוכה.

פרופיל הדחף האופטימלי נגזר מן האיזון שבין שיקולים מנוגדים אלו.

ראו גם

• רקטת האצה

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

בעיית גודארד41358932Q5576265