היפוציקלואיד

אסטרואידה (היפוציקלואיד בעל 4 חודים, אדום) הנוצרת מגלגול מעגל ברדיוס

r=1

(שחור) בתוך מעגל ברדיוס

R=4

(כחול)

בגאומטריה, היפוציקלואיד הוא עקומה מישורית הנוצרת על ידי מסלול של נקודה קבועה על מעגל, המתגלגל (ללא החלקה) לאורך צדו הפנימי של מעגל גדול יותר. ההיפוציקלואיד שונה מעקומת הציקלואידה, הנוצרת מהתגלגלות מעגל לאורך קו ישר.

ניתוח מתמטי

נסמן את רדיוס המעגל המתגלגל $r$ , ואת רדיוס המעגל הגדול $R=kr$ . המשוואות הפרמטריות של העקומה הן:

{\begin{aligned}x(\theta )&=r{\Big (}(k-1)\cos(\theta )+\cos {\big (}(k-1)\theta {\big )}{\Big )}\\y(\theta )&=r{\Big (}(k-1)\sin(\theta )-\sin {\big (}(k-1)\theta {\big )}{\Big )}\end{aligned}}

אם $k$ מספר שלם, אזי העקומה היא עקומה סגורה בעלת $k$ חודים (נקודות שבהן העקומה אינה גזירה). כאשר $k=2$ העקומה המתקבלת היא ישר, וזוג מעגלים ביחס שכזה נקראים "מעגלי קרדאנו",

על שם ג'ירולמו קרדאנו – הראשון להגדיר היפוציקלואידים מסוג זה, שהיוו בעבר מרכיב מרכזי בטכנולוגיית מכונות הדפוס.

אם $k$ מספר רציונלי, נניח $k={\frac {p}{q}}$ (בהצגה מצומצמת), אזי העקומה היא עקומה סגורה שאיננה פשוטה (דהיינו – היא חותכת את עצמה), בעלת $p$ חודים.

אם $k$ מספר אי-רציונלי, אזי העקומה לעולם לא נסגרת. העקומה תמלא את שטחה של טבעת ברדיוס חיצוני $R$ וברדיוס פנימי $R-r$ , סביב מרכז המעגל הגדול.

היפוציקלואיד הוא מקרה פרטי של עקומת היפוטרוכואיד.

היפוציקלואידים
$k=3$ – דלתואידה
$k=4$ – אסטרואידה
$k=5$
$k=6$
$k=2.1$
$k=3.8$
$k=5.5$
$k=7.2$