התמרת הילברט

במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת הילברט היא אופרטור ליניארי, שלוקח פונקציה $u(t)$ , ומייצר פונקציה $H{(u)(t)}$ , עם אותו תחום.

בשונה מהתמרות אחרות כדוגמת התמרת Z, התמרת פורייה, אשר מעבירות פונקציות בין מרחבים, התמרת הילברט לוקחת פונקציה במרחב הזמן, ומשאירה אותה במרחב הזמן, בערך המסובב ב- $90^{\circ }$ בתדר.

התמרת הילברט קרויה על שם דויד הילברט, שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית.

מבוא

באדום-התמרת הילברט, בכחול-גל מרובע

התמרת הילברט של פונקציה $u(t)$ היא קונבולוציה של הפונקציה $u(t)$ עם הפונקציה $h(t)=1/(\pi t)$ .

ההתמרה מחושבת בצורה הבאה:

${\widehat {u}}(t)=H(u)(t)=\operatorname {\int } _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {\int } _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau$

כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה u, התוצאה היא u שלילית:

H(H(u))(t)=-u(t)

מכאן התמרת הילברט ההפוכה היא:

H^{-1}=-H

במישור התדר, התמרת הילברט היא:

H(f)=-j\cdot sign(f)

, כאשר

sign(f)

היא פוקנציית הסימן.

מכאן ניתן לראות ש

|H(f)|=1

, כלומר התמרת הילברט משנה רק את הפאזה של האות, היא מסובבת את הפאזה של רכיבי התדר החיוביים ב

-90^{\circ }

ואת הפאזה של רכיבי התדר השליליים ב

90^{\circ }

.

לכן האות במישור התדר לאחר התמרת הילברט הוא:

{\widehat {U}}(f)=H(f)U(f)=-j\cdot sign(f)\cdot U(f)

, כאשר

U(f)

ו

{\widehat {U}}(f)

הן ההתמרות פורייה של

u(t)

ו

{\widehat {u}}(t)

בהתאמה.

סימון

בעיבוד אותות, התמרת הילברט של $u(t)$ מסומנת ע"י: ${\widehat {u}}(t)\,$ . במתמטיקה, הסימון הנפוץ הוא ${\tilde {u}}(t)$ .

טבלת התמרות הילברט

האות $u(t)\,$	התמרת הילברט $H(u)(t)$
$\sin(t)$	$-\cos(t)$
$\cos(t)$	$\sin(t)\,$
$\exp \left(it\right)$	$-i\exp \left(it\right)$
$\exp \left(-it\right)$	$i\exp \left(-it\right)$
$1 \over t^{2}+1$	$t \over t^{2}+1$
$e^{-t^{2}}$	$2\pi ^{-1/2}F(t)$
פונקציית Sinc $\sin(t) \over t$	$1-\cos(t) \over t$
פונקציית המלבן $\sqcap (t)$	${1 \over \pi }\log \left\|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\|$
פונקציית דלתא של דיראק $\delta (t)\,$	${1 \over \pi t}$