התמרת הילברט

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת הילברט היא אופרטור ליניארי, שלוקח פונקציה , ומייצר פונקציה , עם אותו תחום.

בשונה מהתמרות אחרות כדוגמת התמרת Z, התמרת פורייה, אשר מעבירות פונקציות בין מרחבים, התמרת הילברט לוקחת פונקציה במרחב הזמן, ומשאירה אותה במרחב הזמן, בערך המסובב ב- בתדר.

התמרת הילברט קרויה על שם דויד הילברט, שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית.

מבוא

באדום-התמרת הילברט, בכחול-גל מרובע

התמרת הילברט של פונקציה היא קונבולוציה של הפונקציה  עם הפונקציה .

ההתמרה מחושבת בצורה הבאה: 

כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה u, התוצאה היא u שלילית:

מכאן התמרת הילברט ההפוכה היא:
במישור התדר, התמרת הילברט היא: , כאשר היא פוקנציית הסימן.
מכאן ניתן לראות ש , כלומר התמרת הילברט משנה רק את הפאזה של האות, היא מסובבת את הפאזה של רכיבי התדר החיוביים ב ואת הפאזה של רכיבי התדר השליליים ב.
לכן האות במישור התדר לאחר התמרת הילברט הוא: , כאשר ו הן ההתמרות פורייה של ו בהתאמה.

סימון

בעיבוד אותות, התמרת הילברט של  מסומנת ע"י:  . במתמטיקה, הסימון הנפוץ הוא .

טבלת התמרות הילברט

האות
התמרת הילברט
פונקציית Sinc
פונקציית המלבן
פונקציית דלתא של דיראק

ראו גם

קישורים חיצוניים

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0