פונקציית ה-sinc המנורמלת (ב
כחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (ב
אדום) מוצגות על אותה סקלה עבור

.
במתמטיקה, לפונקציית ה-sinc, שמסומנת
, יש שתי הגדרות:
- בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, פונקציית ה-sinc המנורמלת מוגדרת כ-:

- במתמטיקה, פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת מוגדרת בדרך כלל כ-:

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה
לעיתים קרובות נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.
המונח המקוצר "sinc" הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".
תכונות
לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):
ו
עבור
and ו
(כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
- הפונקציות
יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות
עם תדירות זוויתית מקסימלית
(כלומר התדירות המקסימלית היא
).
תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:
- נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת
מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר
לכל נקודה בה הנגזרת של
היא 0.
- פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון,
. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת
.
- האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי (
). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת
הם מספרים שלמים השונים מאפס.
- התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת
הוא
.
,
- כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.
- אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי

- הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:



- כאשר
היא פונקציית גאמה.

- כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral).

הקשר לפונקציית דלתא של דיראק
למרות שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק
כך:

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

לכל פונקציה חלקה
עם תומך קומפקטי.
בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של
, ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של
כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.
ראו גם
קישורים חיצוניים