התפלגות גאוס-קוזמין

התפלגות גאוס-קוזמין

פונקציית צפיפות ההסתברות
מאפיינים
פרמטרים	אין
תומך	$k\in \{1,2,\dots \}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$-{\log }_2[1-\frac{1}{(k+1{)}^2}]$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$1-{\log }_2\left(\frac{k+2}{k+1}\right)$
תוחלת	$+\mathrm{\infty }$
חציון	$2$
ערך שכיח	$1$
שונות	$+\mathrm{\infty }$
אנטרופיה	3.432527514776...
צידוד	לא מוגדר
גבנוניות	לא מוגדר

במתמטיקה, התפלגות גאוס-קוזמין (באנגלית:Gauss–Kuzmin distribution) היא התפלגות בדידה המתארת את השכיחות האסימפטוטית של המקדמים בפיתוח לשבר משולב פשוט של משתנה מקרי המתפלג באופן אחיד בקטע (1, 0). ההתפלגות נקראת על שם קרל פרידריך גאוס, שגזר אותה בסביבות 1800, ורודיון קוזמין, אשר הוכיח חסם עליון על קצב ההתכנסות שלה ב-1929. היא נתונה על ידי פונקציית ההסתברות

$p(k)=-{\log }_2(1-\frac{1}{(k+1{)}^2}).$

משפט גאוס-קוזמין

יהי

$x=\frac{1}{k_1+\frac{1}{k_2+\cdots }}$

הפיתוח לשבר משולב פשוט של המשתנה המקרי x, המתפלג באופן אחיד בקטע (1, 0). אז

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{\mathbb{P}}\{k_n=k\}=-{\log }_2(1-\frac{1}{(k+1{)}^2}).$

באופן שקול, יהי $x_n$ הזנב ה-n של השבר המשולב המייצג את x,

$x_n=\frac{1}{k_{n+1}+\frac{1}{k_{n+2}+\cdots }};$

אז

${\mathrm{\Delta }}_n(s)=\mathbb{\mathbb{P}}\{x_n\le s\}-{\log }_2(1+s)$

מתכנס לאפס כאשר n שואף לאינסוף.

שתי הגרסאות השקולות של משפט גאוס-קוזמין מתייחסות לפונקציות ההתפלגות (הבדידה) של מקדמי השבר המשולב ולפונקציות ההתפלגות המצטברת (הרציפה) של זנב השבר המשולב (בין 0 ל-s), בהתאמה. הגרסה הראשונה נובעת מן השנייה מכיוון שהשכיחות של המספר הטבעי $k$ בשבר המשולב היא בדיוק ההסתברות ש-$x_n$ יימצא בין $s_1=\frac{1}{k}$ ל-$s_2=\frac{1}{k+1}$.

קצב התכנסות

ב-1928, קוזמין הוכיח את החסם

$|{\mathrm{\Delta }}_n(s)|\le C\exp (-\alpha \sqrt{n}).$

ב-1929, פול לוי שיפר אותו ל-

$|{\mathrm{\Delta }}_n(s)|\le C0.7^n.$

מאוחר יותר, אדוארד וירסינג הראה שבעבור ...λ = 0.30366 (קבוע גאוס-קוזמין-וירסינג), הגבול

$\mathrm{\Psi }(s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}_n(s)}{(-\lambda {)}^n}$

קיים בעבור כל s ב-[1, 0], ושהפונקציה Ψ(s) היא אנליטית ומקיימת Ψ(0) = Ψ(1) = 0. חסמים נוספים הוכחו על ידי K. I. Babenko.

ראו גם

• שבר משולב

קישורים חיצוניים

• התפלגות גאוס-קוזמין, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות גאוס-קוזמין41777943Q3258320