התפלגות אחידה רציפה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
התפלגות אחידה (רציפה)
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים a,b(,) (יכול להיות גם איחוד של מספר קטעים)
תומך x[a,b]
פונקציית צפיפות הסתברות
(pdf)
f(x)={1ba,x[a,b]0,otherwise 
פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf)
 FX(x)={0,xaxaba,axb1,bx
תוחלת a+b2
סטיית תקן ba12
חציון a+b2
ערך שכיח (כל ערך בין a לבין b)
שונות (ba)212
אנטרופיה  ln(ba)
פונקציה יוצרת מומנטים
(mgf)
etbetat(ba)
פונקציה אופיינית eitbeitait(ba)
צידוד  0
גבנוניות 65

התפלגות אחידה רציפהאנגלית: Continuous Uniform distribution) היא התפלגות רציפה בה כל הקטעים בעלי אותו אורך, הנמצאים בתומך שלה, הם בעלי הסתברות שווה.

תומך ההתפלגות האחידה הרציפה הוא קטע, ההתפלגות נתונה בעזרת שני פרמטרים, הקרויים לרוב a ו- b, ומציינים את קצוות הקטע המהווה התומך, ותסומן לרוב על ידי U(a,b).

מאפיינים סטטיסטיים

מאפיינים מגדירים

בהינתן משתנה מקרי XU(a,b) פונקציית צפיפות ההסתברות שלו היא:

fX(x)={1bafor axb,0for x<a or x>b

פונקציית ההתפלגות המצטברת של המשתנה המקרי היא:

F(x)={0for x<axabafor ax<b1for xb

מומנטים ופונקציות יוצרות

תוחלתו ושונותו של המשתנה המקרי X נתונות על ידי הנוסחאות:

𝔼X=a+b2
Var(X)=(ba)212

הנוסחא למומנט מסדר n של המשתנה המקרי היא:

𝔼Xn=bn+1an+1(n+1)(ba)

המומנט הממרוכז ה-n-י הוא:

𝔼(X𝔼X)n=(ba)n(1+(1)n)2n+1(n+1)

בפרט ניתן לראות כי המומנטים הממורכזים מסדר אי-זוגי מתאפסים. עובדה זו נובעת בקלות מהיות X סימטרי סביב הממוצע.

הפונקציה יוצרת המומנטים של המשתנה המקרי נתונה על ידי:

MX(t)=𝔼exp(tX)={etbetat(ba)for t01for x<a or x>b

בדומה, הפונקציה האופיינית של המשתנה המקרי היא:

ϕX(t)=𝔼exp(itX)={eitbeitait(ba)for t01for x<a or x>b

קשרים להתפלגויות אחרות

שימושים

סטטיסטיקה תאורטית

בסטטיסטיקה, כשמשתמשים במבחן ערך-p לבדיקת השערת אפס פשוטה, וההתפלגות של המבחן הסטטיסטי רציפה, אז ערך ה-p מתפלג אחיד בין 0 ל-1 כאשר השערת האפס נכונה.

תכנות

לשפות תכנות רבות יש את היכולת לייצר מספרים פסבדו-אקראיים שמתפלגים אחיד לפי התפלגות אחידה סטנדרטית, וזאת תוך שימוש במחולל מספרים פסבדו-אקראיים. שימוש בעקרון דגימת ההעתקה ההופכית מאפשר כך למתכנת לקבל ערך אקראי המתפלג כרצונו. כך למשל יכול מתכנת לסמלץ פעולות כמו הטלת מטבע או קובייה.

חישוב נומרי ושיטת מונטה-קרלו

נניח שנתונה לנו פונקציה אינטגרבילית f:[a,b], ורוצים לחשב את האינטגרל abf(x)dx. אם לפונקציה f:[a,b] יש פונקציה קדומה ידועה, ניתן לחשב את האינטגרל תוך שימוש במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

כשאין זה המקרה, ניתן לחשב את האינטגרל על ידי האבחנה הבאה - האינטגרל שווה ל־(ba)𝔼(f(U)) כאשר UU(a,b). את ערך התוחלת ניתן לקרב תוך שימוש בחוק המספרים הגדולים - מגרילים סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים U1,...,UNU(a,b) ומחשבים את הממוצע האמפירי M=1Ni=1Nf(Ui). אי-שוויון צ'בישב גורר ש:

{|M𝔼f(U)|t}Var(M)t2=Var(f(U))Nt2

בשיטה זו נהוג להשתמש בסימולציה של מערכות מורכבות בפיזיקה, כימיה והנדסה. לדוגמה, כאשר יש צורך להבין מהי ההסתברות שמערכת הנדסית תכשל, ניתן להריץ סימולציה של המערכת מספר רב של פעמים ולראות מה יחס מספר הפעמים בה המערכת נכשלה.

שגיאות קוונטיזציה

בעיבוד אותות שגיאת קוונטיזציה היא שגיאה הנובעת מקירוב של אות אנלוגי על ידי אות דיגיטלי. עקב מספר הביטים הסופי באות הדיגיטלי, חייבת להיות שגיאה בקירוב זה - שגיאה הנובעת מעיגול או השמטה של הספרות האחרונות. כאשר עוצמת האות המקורי גדולה הרבה יותר מהביט הזניח ביותר, הקורלציה בין השגיאה לגודל האות המקורי קטנה מאוד, וכתוצאה מכך השגיאה מתפלגת, בקירוב, בצורה אחידה.

התפלגות אחידה סטנדרטית

המקרה הפרטי המתקבל מהגבלת הפרמטרים a=0 b=1, נקראת התפלגות אחידה סטנדרטית, המסומנת על ידי  XU(0,1) .

עקרון דגימת ההעתקה ההופכית גורס כי מתוך התפלגות אחידה סטנדרטית ניתן להגיע לכל התפלגות שהיא, בהנחה ופונקציית ההתפלגות המצטברת ידועה.

ראו גם

קישורים חיצוניים


הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות אחידה רציפה40757807Q274506