זהות אוילר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מתמטית, זהות אוילר, הקרויה על שמו של המתמטיקאי השווייצרי הידוע לאונרד אוילר, היא השוויון הבא:

כל אברי הזהות הם מספרים קבועים:

  • e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי.
  • π הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו.
  • i הוא היחידה המדומה, מקיים: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i^2=-1}

יופי מתמטי

זהות אוילר נחשבת בעיני רבים כזהות יוצאת דופן בשל יופיה המתמטי, הנובע מהפעולות הבסיסיות שהיא משלבת בתוכה (חיבור, כפל והעלאה בחזקה) ומהקבועים המתמטיים הבסיסיים שהיא מקשרת ביניהם:

  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} הוא מספר אי-רציונלי (ואף טרנסצנדנטי) המופיע באינספור הקשרים שונים באנליזה מתמטית ובתחומים משיקים. ספרותיו הראשונות הן 2.718.
  • הוא מספר אי רציונלי (ואף טרנסצנדנטי) המופיע גם הוא באינספור הקשרים בגאומטריה, אנליזה מתמטית ותחומים משיקים. ספרותיו הראשונות הן 3.14.
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} הוא היחידה המדומה, הוא אחד משני השורשים הריבועיים של -1 (השני הוא -i).
  • הוא מספר טבעי המשמש כאיבר היחידה של כפל מספרים.
  • הוא מספר טבעי המשמש כאבר האפס של חיבור מספרים.

עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול.[1]

הוכחה

ניתן להוכיח את הזהות על־ידי הצבת בנוסחת אוילר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}e^{\pi i}&=\cos(\pi)+i\sin(\pi)\\&=0-1\\&e^{i\pi}+1=0\end{align}}

הכללות

מנוסחת אוילר נובע ששורשי היחידה מסדר הם המספרים מהצורה הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{\frac {2\pi ik}{n}}} לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=0,\ldots,n-1} . סכום שורשי היחידה הוא תמיד 0:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2\pi ik}{n}}=0}

טענה זו ניתן להוכיח בדרכים רבות, למשל דרך ההבחנה שסכום שורשי היחידה הוא המקדם של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{n-1}} בפולינום:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(x-e^{\frac{2\pi ik}{n}}\right)}

הצבה של בסכום נותנת את זהות אוילר.

את נוסחת אוילר ניתן להכליל גם לקווטרניונים, אז מקבלים זהות אוילר מוכללת:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{(a_1i+a_2j+a_3k)\pi}+1=0}

לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1,a_2,a_3} ממשיים המקיימים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2=1} .

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ גרדיאן‏, ובמקום השמיני: 2=1+1, באתר וואלה!‏, 11 באוקטובר 2004