חסם הופדינג

בתורת ההסתברות, חסם הופדינג, על שמו של וסילי הופדינג, (Hoeffding) הוא חסם עליון על ההסתברות שסכום של משתנים מקריים יהיה שונה מהתוחלת שלו.

חסם הופדינג הוא תוצאה של אי שוויון ברנשטיין.

הגדרה פורמלית

יהיו $X_{1}\dots X_{n}$ משתנים מקריים בלתי תלויים. $X_{i}\in [a_{i},b_{i}]$ בהסתברות 1. אזי הממוצע שלהם ${\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ מקיים לכל t חיובי את אי השוויונים הבאים (הופדינג 1963):

$$\Pr({\bar {X}}_{n}-\mathrm {E} [{\bar {X}}_{n}]\geq t)\leq \exp \left(-{\frac {2\,n^{2}\,t^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}\right)\!$$

$$\Pr(|{\bar {X}}_{n}-\mathrm {E} [{\bar {X}}_{n}]|\geq t)\leq 2\exp \left(-{\frac {2\,n^{2}\,t^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}\right)\!$$

שימושים

משמעות החסם היא שההסתברות שמדגם כלשהו מתוך הסתברות, לא יהיה "מדגם מייצג", קטנה באופן מעריכי בגודל המדגם. לחסם זה חשיבות רבה בתחום של למידה חישובית, מכיוון שהוא נותן אינדיקציה לגבי גודל המדגם שדרוש כדי ללמוד על התפלגות.

ראו גם

• אי-שוויון צ'בישב