חצי מעגל

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
המחשה מונפשת של משפט תאלס. הזווית נותרת ישרה לאורך כל תנועת הנקודה על-פני הקשת

בגאומטריה, חצי-מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור אשר נמצאות מצדו האחד של קו ישר הנמצא במישור, ואשר מרחקן מנקודה הנמצאת על גבי הישר קבוע. חיתוך של מעגל לאורך הקוטר שלו יוצר שני חצאי מעגל.

בגאומטריה אוקלידית וגם ברוב הגאומטריות האחרות, אורכה של קשת חצי-מעגלית שווה תמיד 180 מעלות. חלק המישור הכלוא בתחום הנוצר על-ידי חיבור קצות הקשת בקטע ישר הוא צורה גאומטרית דו-ממדית שהיא חצי-עיגול. זוהי צורה סימטרית בעלת ציר סימטריה אחד, שהוא האנך האמצעי לקטע שמחבר את קצות הקשת. הקטע המחבר את קצות הקשת הוא למעשה קוטר מעגל התוחם במדויק את חצי-המעגל, והקטע המחבר את מרכז הקוטר עם כל נקודה על חצי-המעגל הוא הרדיוס.

לפי משפט תאלס כל המשולשים החסומים בחצי מעגל כך ששניים מקדקודיהם מונחים על קצות הקוטר וקדקוד נוסף מונח במקום כלשהו על פני הקשת, הם משולשים-ישרי זווית.

כל הישרים החותכים את חצי-המעגל והמאונכים לו מתכנסים לנקודה אחת שהיא מרכז הקוטר.

נוסחאות

מיקום מרכז המסה של חצי-עיגול

אורך הקשת של חצי-מעגל שרדיוסו שווה , והיא חוסמת חצי-עיגול ששטחו .

בגאומטריה אנליטית משוואת חצי-המעגל הנמצא ברביעים הראשון והשני, ומרכזו בראשית הצירים, היא:

מיקום מרכז המסה של חצי-עיגול:

שימושים גאומטריים

תיאור של בניה הנדסית של ממוצע חשבוני וממוצע הנדסי של אורכי שני קטעים בעזרת חצי-מעגל

חצי מעגל יכול לשמש לבניה גאומטרית של ממוצע חשבוני וממוצע הנדסי של אורך שני קטעים. אם בונים בעזרת מחוגה חצי-מעגל על קוטר שהוא סכום שני הקטעים, הרי שאורך רדיוס המעגל – השווה באורכו למחצית הקוטר – הוא הממוצע החשבוני של אורכי הקטעים.

בעזרת משפט פיתגורס ניתן להוכיח כי אורכו של קטע המאונך לשני הקטעים, כך שאחת מנקודות הקצה שלו נמצאת על חצי-המעגל, ונקודת הקצה השנייה מתלכדת עם נקודות הקצה המשותפות לשני הקטעים, שווה באורכו לממוצע ההנדסי של אורכי הקטעים. דבר זה יכול לעזור במשימה של תרבוע מלבן, מאחר ושטחו של מלבן שווה לשטח ריבוע שצלעו שווה באורכה לממוצע ההנדסי של אורכי ניצבי המלבן.

שימושים אדריכליים

באדריכלות של הזמן הקדום, ובעיקר בתקופת הרומאים, הייתה לצורת הקשת החצי מעגלית חשיבות מרכזית בקירוי מבנים, בגישור ובהובלת מים (אקוודוקט). יתרונותיה המבניים של צורה זו איפשרו בניית מבנים רחבי-ידיים, בעלי יכולת נשיאה של עומסים גדולים. בימינו משמשת הקשת החצי מעגלית בקירוי מבנים רחבי-ידיים כמו בריכות שחיה ותחנות רכבת, וכן בקירוי חממות. גם צורתן של מנהרות היא, בדרך-כלל, חצי-מעגלית.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.