ממוצע חשבוני

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

ממוצע חשבוני (או אריתמטי) הוא סוג הממוצע הנפוץ ביותר ואליו מתכוונים בדרך כלל במילה "ממוצע".

הממוצע החשבוני הוא מדד אמצע שימושי ביותר בסטטיסטיקה, לשם הצגת וניתוח נתונים.

הגדרה

הממוצע החשבוני, המסומן , של קבוצת מספרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x_1,\ldots,x_n\}} מוגדר כסכומם חלקי מספרם, כלומר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar x=\frac1n\sum_{i=1}^n{x_i}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}}

כלומר, הממוצע החשבוני הוא מספר שאם יהיה אותו במקום כל המספרים, הסכום הכללי לא ישתנה. כך למשל, אם חשבון החשמל הממוצע של בניין הוא 1000 למשפחה, אז אם לכל המשפחות היה חשבון 1000 ₪, החשבון הכללי של הבניין היה נותר זהה.

הממוצע הוא מעין "מרכז" של המספרים בזכות תכונתו שסכום ההפרשים בינו למספרים האחרים הוא אפס, כלומר

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_1-\bar x)+\cdots+(x_n-\bar x)=0}

כמו כן סכום ריבועי ההפרשים הוא מינימלי, כלומר הגודל

קטן יותר מכל גודל שהיה יוצא לו היינו מחליפים את במספר אחר.

ייצוג קבוצה באמצעות ממוצע

הממוצע החשבוני עלול שלא לשקף נאמנה את הנתונים, משום שהוא אינו נותן שום מידע על ההתפלגות של המספרים (כלומר אופן ה"פיזור" שלהם). הבעיה בולטת במיוחד אם מספר קטן של אברים רחוק מאוד מהאחרים. למשל, במפעל בו 95 עובדים משתכרים 5,000 ₪ בחודש ו-5 מנהלים משתכרים 100,000 ₪ בחודש, השכר הממוצע לחודש הוא 9,750. במקרה זה, הממוצע רחוק מלייצג את גובהה של "משכורת אופיינית" במפעל שכן, אף עובד לא משתכר שכר קרוב לשכר הממוצע. 95% משתכרים כמחצית מסכום זה, ו-5% משתכרים יותר מפי עשר מהממוצע.

כדי לקבל מידע גם על פיזור המספרים, משתמשים בסטיית תקן. סטיית תקן היא שורש ממוצע ריבועי המרחקים, כלומר

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}}

בדיקה גסה יותר אך מועילה לעיתים היא בדיקת ההפרש בין הממוצע לחציון. אם אברי הקבוצה מפולגים באופן סימטרי סביב הממוצע, הממוצע יהיה קרוב לחציון, אולם, אם ההתפלגות אינה סימטרית כבדוגמה למעלה, המרחק בין החציון לבין הממוצע עשוי לגדול. כדי לקבל תמונה טובה על קבוצת משתנים משתמשים בנוסף לממוצע בסטיית התקן ובחציון ולעיתים קרובות מוסיפים את השכיח.

הכללות

ממוצע משוקלל

קובץ:Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – ממוצע משוקלל

בממוצע חשבוני נותנים לכל מספר אותו משקל. אך לעיתים יש צורך בנתינת משקל שונה לכל מספר, למשל לצורך חישוב מהירות ממוצעת של מספר מהירויות שהיו לאורך זמנים שונים. במקרה כזה משתמשים בממוצע משוקלל, המחושב בצורה הבאה:

כאשר לכל מספר מותאם משקל . הממוצע המשוקלל מהווה הכללה של הממוצע החשבוני, משום שאם כל המשקלים שווים ל-1 אז מתקבל ממוצע חשבוני רגיל. כמו כן, אם משקל הוא טבעי, ניתן להחליף בחישוב את המספר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_i} מספרים השווים ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} מבלי לשנות את הממוצע.

ממוצע של פונקציה

אם מרחב המספרים הוא רציף, ניתן לחשב את הממוצע לפי הנוסחה הבאה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\bar f=\frac1{b-a}\int\limits_a^bf(x)dx\end{align}}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} פונקציית המשתנים ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} הקטע בו מחשבים את הממוצע.

זוהי הכללה של הממוצע החשבוני משום שהוא מתקבל כגבול של תהליך שבו מחשבים את ממוצע ערכי הפונקציה בקטע ומוסיפים עוד ועוד ערכים. באופן אינטואיטיבי, מחלקים את האינטגרל (המהווה הכללה לסכום) באורך הקטע (עליו ניתן להסתכל כ"מספר הערכים שהפונקציה מקבלת").

משפט הערך הממוצע האינטגרלי קובע כי פונקציה רציפה מקבלת את הערך הממוצע שלה בקטע.

אם הפונקציה מורכבת מקטעים מקבילים לציר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} בלבד, אז הממוצע שלה הוא ממוצע משוקלל של ערכי הקטעים כאשר משקלם הוא אורכם.

ראו גם

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0