כיסוי האוריינטציות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
כיסוי האוריינטציות של משטח במרחב: נדמיין שהמשטח עשוי מנייר דו-שכבתי, ונפריד את השכבות. היריעה שתתקבל תהיה המרחב המכסה . העתקת הכיסוי היא ההדבקה של שתי השכבות בחזרה. במקרה ש היא טבעת מביוס (זאת אומרת טבעת עם חצי פיתול) היריעה המתקבלת לאחר הפרדת השכבות היא טבעת עם פיתול שלם. יריעה זאת דיפאומורפית לטבעת רגילה, ובפרט היא אוריינטבילית

בטופולוגיה, כיסוי האוריינטציות של יריעה הוא מרחב כיסוי של היריעה שאפשר להפוך גם לאגד או לאלומה. באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר קרקטר כפלי של החבורה היסודית המודד באיזו מידה היריעה אינה אוריינטבילית. קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריאנטבילי עבור יריעה לא אוריאנטבילית.

רקע

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אוריינטציה

אוריינטציה היא מבנה מופשט שניתן (לעיתים) להגדיר על יריעה. לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר אוריינטציה נקראת אוריינטבילית (Orientability). על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעיתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן ב- אז את השנייה מסמנים ב-. יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented).

המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיוון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.

הגדרת הכיסוי

אוריינטציה בנקודה

כיסוי האוריינטציות מבוסס על מושג האוריינטציה בנקודה. תהי יריעה חלקה. ו- נקודה עליה. אוריינטציה של ב- מוגדרת בתור אוריינטציה על המרחב המשיק באופן כללי יותר אם יריעה טופולוגית אז אוריינטציה של ב- מוגדרת בתור יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית

כיסוי האוריינטציות

נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה ב- (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי באופן הבא:

,

כאשר הטופולוגיה על מוגדרת מקומית על ידי זיהוי של סביבה פתוחה עם , ודרכה זיהוי של עם . קל לראות שהטופולוגיה המתקבלת על אינה תלויה בזיהוי.

המרחב מצייד בהעתקה טבעית

ולפי הבנייה, העתקה זו היא כיסוי. הזוג נקרא כיסוי האוריינטציות, זהו כיסוי דו-יריעתי.

כיסוי האוריינטציות הוא טריוויאלי (זאת אומרת איזומורפי ל-) אם ורק אם אוריינטבילית. אם קשירה אז כיסוי האוריינטציות קשיר אם ורק אם לא אוריינטבילית. ניתן להראת כי בחירת חתך (Section) רציף של כיסוי האוריינטציות שקול לבחירת אוריינטציה.

החבורה פועלת על הסיבים (Fiber) של כיסוי האוריינטציות באופן חופשי[1] וטרנזיטיבי. כיסוי עם פעולה כזאת נקרא -טורסור.

אפיון של כיסוי האוריינטציות

המרחב המכסה הוא תמיד אוריינטבילי. יתר על כן, מרחב זה מצויד באוריינטציה טבעית[2]

מאידך, אם יריעה קשירה לא אוריינטבלית ו- כיסוי דו-יריעתי אוריינטבילי שלה, אז הכיסוי איזומורפי לכיסוי האוריינטציות.

דוגמאות

יריעה לא אוריינטבילית כיסוי האוריינטציות שלה
טבעת רגילה (זאת אומרת גליל)
מישור פרויקטיבי מוטבע במרחב,,[3]

מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי

ספירה מאותו ממד

הדבקה של בקבוק קליין. על מנת לקבל את היריעה, יש להדביק כל צלע לצלע שצבועה באותו צבע, לפי כיוון החץ.
הדבקה של הטורוס. מתאור ההדבקה קל לראות שהטורוס הוא כיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין.

משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים משטח (קשיר) לא אוריינטבילי מגנוס . ניתן לתאר אותו בתור הסכום הקשיר (Connected sum)

כאשר הוא המישור הפרויקטיבי.

משטח (קשיר) אוריינטבילי מגנוס . המשטח נראה כספירה שחיברו אליה ידיות. לחלופין ניתן לתאר אותו בתור

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^2} היא הסיפרה ו הוא הטורוס.

קרקטר האוריינטציות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – קרקטר האוריינטציות

נקבע נקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in M} . אנו מקבלים פעולת מונודרומיה (Monodromy) של החבורה היסודית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_1(M)} על הסיב של . פעולה זו מגדירה קרקטר כפלי,

קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. הוא שולח כל (מחלקה של) מסילה סגורה אל אם היא שומרת על האוריינטציה, ואל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} אחרת. יריעה קשירה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} היא אוריינטבלית אם ורק אם קרקטר האוריינטציות שלה טריוויאלי, כלומר כל איבר של החבורה היסודית (ואף של ההומולוגיה הראשונה של היריעה) שומר על האוריינטציה.

אגד האוריינטציות

את כיסוי האוריינטציות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient_M} ניתן להפוך לאגד האוריינטציות . באופן אינטואיטיבי הסיב של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Orient_M} בנקודה הוא ישר העובר דרך שתי הנקודות של באופן פורמלי מוגדר להיות מרחב המנה של תחת יחס השקילות הבא: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .((x,o),r) \sim ((x,-o),-r) } [4] זהו אגד קווי.

קיים איזומורפיזם קנוני בין לאגד הטריוויאלי. במילים אחרות .

לבניה זאת יש גם גרסה ליניארית: עבור מרחב ליניארי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} ניתן להגדיר את ישר האוריינטציות עליו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Orient(V)} . זהו מרחב ליניארי חד ממדי שקבוצת האוריינטציות על היא תת-קבוצה בתוכו. התכונות של אגד האוריינטציות מתקיימות גם עבור ישר האוריינטציות.

אגד הצפיפויות

באופן אינטואיטיבי אפשר לחשוב על תבנית בתור נפח מכוון (זאת אומרת נפח עם סימן). לדוגמה אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} היא התבנית הסטנדרטית על אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\omega(v_1,\dots, v_n)|} הוא הנפח של המקבילון הנפרס על ידי אולם לאו דווקא חיובי. אפשר לחשוב על אוריינטציה בתור זיקוק הסימן מהתבנית. באופן דומה אפשר להגדיר את מושג הצפיפות[5] שהוא זיקוק הנפח מהתבנית.

את אגד הצפיפויות ניתן להגדיר בעזרת אגד האוריינטציות:

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega^{top}_M } הוא אגד התבניות הדיפרנציאליות.

מכאן אנו מקבלים את הפירוק:

ניתן להפוך את הפירוק הזה למפורש יותר באופן הבא: תהי תבנית דיפרנציאלית הפיכה. נסמן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sign(\omega)} את האוריינטציה המתאימה. ניתן לחשוב על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sign(\omega)} כעל חתך של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient_M} או לחלופין של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Orient_M} . נסמן

אנו מקבלים

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega=sign(\omega)|\omega|}

במילים אחרות, ניתן לחשוב על תבנית דיפרנציאלית הפיכה בתור שילוב של האוריינטציה (הסימן של התבנית) וצפיפות (הערך המוחלט של התבנית). אינטואיטיבית, צפיפות היא אפשרות להגדיר נפח. להבדיל מתבניות דיפרנציאליות, ניתן להגדיר אינטגרל של צפיפות גם ללא בחירת אוריינטציה. מכאן, צפיפות מגדירה מידה (לאו-דווקא חיובית). למעשה מושגים אלה כמעט שקולים.

המקרה ליניארי

בדומה לתבניות ולאוריינטציות, גם צפיפויות ניתן להגדיר עבור מרחב ליניארי וגם שם מתקיים אותו הפירוק. במקרה הליניארי ניתן לחשוב על שלושת האובייקטים האלה כעל פונקציות על קבוצת הבסיסים

תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .f:\mathcal B \to \R}

  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא תבנית אם לכל שני בסיסים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_1,b_2 \in \mathcal B} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(b_1)=\det (M_{b_1}^{b_2})f(b_2)} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_{b_1}^{b_2}} היא מטריצת המעבר בין הבסיסים.
  • היא איבר בישר האוריינטציות אם לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_1,b_2 \in \mathcal B} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .f(b_1)=sign(\det (M_{b_1}^{b_2}))f(b_2)} הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } היא אוריינטציה ממש אם בנוסף ערכיה הם ±1.
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא צפיפות אם לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_1,b_2 \in \mathcal B} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .f(b_1)=|\det (M_{b_1}^{b_2})|f(b_2)}

תיאור זה מסביר את הפירוק למעלה. כמו כן אפשר להבין מתיאור זה מדוע ניתן להגדיר אינטגרל של צפיפות ולא של תבנית, לאור העבדה שבנוסחת החלפת המשתנים של אינטגרל מרובה, מופיע הערך המוחלט של היעקוביאן ולא היעקוביאן עצמו.

אלומת האוריינטציות

את כיסוי האוריינטציות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient_M} ניתן גם להפוך לאלומת האוריינטציות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\mathcal Orient_M} באופן דומה לבניית אגד האוריינטציות. עבור קבוצה פתוחה קשירה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subset M} נגדיר

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal Orient_M(U):= (orient(U) \times \Z)/ S_2,}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient(U)} היא קבוצת האוריינטציות על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} והפעולה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2} היא אלכסונית. בעזרת אקסיומות האלומה ניתן להכליל הגדרה זאת לקבוצות פתוחות כלליות.

אלומת האוריינטציות היא אלומה קבועה מקומית (Local property). הרחבת סקלרים (Extension of scalars) של אלומה זו ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} היא אלומה קבועה מקומית של מרחבים ליניאריים, במילים אחרות מערכת מקומית (Local system). הגדרה שקולה של מערכת מקומית היא – אגד עם קישוריות (Connection) שטוחה. כך אנו מקבלים אגד עם קישוריות שמתאים לאלומת האוריינטציות. אגד זה איזומורפי קנונית לאגד האוריינטציות. מכאן שקיבלנו קישוריות שטוחה על אגד האוריינטציות.

אלומת האוריינטציות היא מקרה פרטי של מושג הקומפלקס המדאל (dualizing complex). לכל מרחב טופולוגי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} (קומפקטי מקומית) ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל. זהו אובייקט בקטגוריה הנגזרת (Derived category) של האלומות על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .X} אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} היא יריעה אז האובייקט המדאל הוא אלומת האוריינטציות מוזזת למקום ה-

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ פעולה חופשית היא פעולה שכל המייצבים ביחס אליה הם טריוויאלים
  2. ^ בכל נקודה . ניתן לבחור אוריינטציה המתאימה ל- תחת האיזומורפיזם
  3. ^ הטבעה זאת נקראת משטח שטיינר (Roman surface)
  4. ^ בניה זאת היא מקרה פרטי של בנייה המתאימה לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} -טורסור ו--הצגה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,V} אגד המסומן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .T \times_G V}
  5. ^ לעיתים מכנים צפיפות "תבנית נפח". כינוי זה עלול לבלבל כי לעיתים הוא מתייחס לתבניות דיפרנציאליות (עליונות) הפיכות


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0