מרחב קשיר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Disambig RTL.svg המונח "קשירות" מפנה לכאן. לערך העוסק במושג בתורת הגרפים, ראו גרף קשיר.
המחשה גרפית למושג. המרחב העליון A קשיר, בעוד שהתחתון B אינו קשיר

קשירוּת היא תכונה העשויה לאפיין מרחב טופולוגי. היא מבחינה בין מרחבים שהם "חתיכה אחת" לבין מרחבים שאפשר לפרק לכמה מרכיבים שונים.

דוגמאות למרחבים קשירים: מרחב המספרים הממשיים (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} ), הקטע הממשי , המישור (), ריבוע במישור. דוגמאות למרחבים לא קשירים: הישר הממשי שהוציאו ממנו נקודה אחת, האיחוד של שני הקטעים ו-.

מרחב שאינו קשיר, אפשר לפרק למרכיבים באופן השומר על התכונות הטופולוגיות, ולכן במקרים רבים די ללמוד את הטופולוגיה של מרחבים קשירים.

הגדרה

זוג של קבוצות פתוחות זרות במרחב טופולוגי, שאיחודן שווה לכל המרחב, נקרא פירוק של המרחב.

אם אחת משתי הקבוצות היא הקבוצה הריקה והשנייה היא כל המרחב, הפירוק נקרא טריוויאלי.

מרחב שהפירוק היחיד שלו הוא הפירוק הטריוויאלי נקרא מרחב קשיר.

דוגמאות

מרחב המספרים הממשיים הוא קשיר. אמנם אפשר להציג את כאיחוד של שתי קבוצות, למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R} = (-\infty,0) \cup [0,\infty)} , אבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,\infty)} אינה פתוחה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} .

מרחב המספרים הממשיים, שהוציאו ממנו את הראשית, אינו קשיר. ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי קבוצות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty,0) \cup (0,\infty)} , ששתיהן פתוחות.

לעומת זאת, המישור, שהוציאו ממנו את הראשית (או אף קבוצה בת-מניה כלשהי של נקודות), הוא עדיין קשיר.

המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=[0,1]\cup[2,3]} אינו קשיר. ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי הקבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,1]} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [2,3]} . הקבוצות הללו הן אמנם סגורות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} אבל הן פתוחות במרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} .

באופן כללי: תת-מרחב של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} הוא קשיר, אם ורק אם הוא קטע.

מרחב המספרים הרציונליים אינו קשיר, וכך גם קבוצת קנטור.

הגדרות שקולות

מכיוון שהמשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, הקבוצות המהוות פירוק של המרחב הן גם סגורות. מכאן עולה שמרחב הוא קשיר אם ורק אם אי אפשר לכתוב אותו כאיחוד זר של שתי קבוצות סגורות זרות (לא ריקות).

אותו טיעון מעיד על נוסח שקול נוסף: מרחב הוא קשיר אם ורק אם אין לו תת-קבוצה לא טריוויאלית (לא הקבוצה הריקה ולא המרחב כולו) שהיא פתוחה וסגורה כאחת. קבוצה כזאת נקראת "סגוחה" (clopen).

תנאי נוסף השקול לקשירות הוא תכונת ערך הביניים: מרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} הוא קשיר, אם ורק אם לכל פונקציה רציפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} אל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} (המספרים הממשיים), התמונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(X)} היא קטע ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} . הוכחת שקילות: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} לא קשיר, הפונקציה ששולחת את אחת מהקבוצות הפתוחות ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} והשנייה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} היא רציפה. בכיוון השני, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x < r < y} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} בתמונה אך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} לא, התמונות ההפוכות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty,r)} ושל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (r,\infty)} הן פתוחות.

קשירוּת ורציפות

תמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קבוצה קשירה.

בפרט, כל מרחב מנה של מרחב קשיר הוא מרחב קשיר, כי העתקת המנה היא רציפה.

אם לכל פונקציה רציפה מהמרחב לעצמו יש נקודת שבת, אז המרחב קשיר (משום שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X = A \cup B} פירוק לקבוצות פתוחות, עם נקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in A, b \in B} , אז לפונקציה השולחת נקודות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} ונקודות ב- ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} אין נקודות שבת).

מכפלה של קבוצות קשירות

המכפלה של מרחבים טופולוגיים היא קשירה אם ורק אם כל המרחבים המשתתפים במכפלה קשירים.

סגור ופנים של קבוצה קשירה

הסגור של קבוצה קשירה הוא קבוצה קשירה. מעבר לכך, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A\subseteq X} קשירה, אז גם כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A\subseteq B\subseteq \textrm{Cl}(A)} קשירה. באופן פיגורטיבי: כאשר מוסיפים לקבוצה קשירה נקודות ה"נוגעות" בה, הקשירות אינה נפגמת.

לעומת זאת, הפנים של קבוצה קשירה הוא לא תמיד קבוצה קשירה. למשל, במישור, איחוד של שני עיגולים סגורים משיקים הוא קשיר, אבל הפנים של איחוד זה (שהוא איחוד של הפנימים של שני העיגולים) אינו קשיר.

איחוד וחיתוך של קבוצות קשירות

איחוד של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר. למשל, האיחוד של שני קטעים פתוחים זרים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} , אינו קשיר.

אולם, אם חיתוכן של הקבוצות אינו ריק, אז איחודן הוא קשיר. כך קובע "משפט הפרח": אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{D_n\right\}_{n\isin\Lambda}} היא משפחה של תת-קבוצות קשירות שהחיתוך של כל שתיים מהן לא ריק, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=\bigcup_{n \in\Lambda} D_n} גם קשירה. לדוגמה, איחוד של ישרים במישור העוברים דרך הראשית (בצורת "פרח") הוא קשיר. התוצאה נכונה גם כאשר מניחים רק שכל שתי קבוצות במשפחה אינן מופרדות.

חיתוך של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר. למשל, חיתוך של שני מעגלים במישור (שאינם משיקים) הוא שתי נקודות.

תת-קבוצות קשירות

תת-קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} של מרחב היא קשירה, אם היא מהווה מרחב קשיר בטופולוגיה היחסית שלה. כדי לתאר הגדרה זו במונחי הטופולוגיה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , יש לעדן את מושג הפירוק: קבוצות לא ריקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U,V} שהסגור של כל אחת מהן זר לשנייה, הן קבוצות מופרדות, והאיחוד שלהן מופרד. תת-קבוצה היא קשירה, אם ורק אם לא ניתן לכסות אותה באיחוד של קבוצות מופרדות, אלא אם היא מכוסה מלכתחילה על ידי אחד המרכיבים.

רכיבי קשירות

תת-הקבוצות הקשירות המקסימליות של מרחב נקראות רכיבי קשירות, וכל מרחב טופולוגי מתפרק לאיחוד זר של רכיבי קשירות. כל רכיב קשירות הוא קבוצה סגורה (כי בהינתן רכיב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} שהוא מחלקת שקילות המתאימה לאיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , מכך ש- מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in \bar{C}} , ובנוסף מכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} קשיר נובע שגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{C}} קשיר. אבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} הקבוצה הקשירה המקסימלית שמכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{C} \subseteq C} . לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{C} = C} , מה שאומר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} סגור).

נקודות השייכות זו לקבוצה אחת וזו לאחרת בהפרדה של המרחב, נקראות נקודות מופרדות. נקודות שאינן ניתנות להפרדה שייכות לאותן קבוצות פתוחות-וסגורות. היחס "לא ניתנות להפרדה" הוא יחס שקילות, ומחלקות השקילות שלו הזה הן רכיבי קוואזי-קשירות. כל רכיב קשירות מוכל ברכיב קוואזי-קשירות של המרחב. אם למרחב יש רק רכיב קוואזי-קשירות יחיד, אז הוא קשיר (ולכן אין צורך להגדיר את המושג "מרחב קוואזי-קשיר"). במרחב האוסדורף קומפקטי מרכיבי הקוואזי-קשירות ומרכיבי הקשירות מתלכדים.

קשירות מסילתית

Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – מרחב קשיר מסילתית

מסילות במרחב הטופולוגי מאפשרות להגדיר גם יחסי שקילות עדינים יותר. כל תמונה רציפה של הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,1]} במרחב נקראת מסילה, והקצוות שלה קשורים מסילתית. אם המסילה אינה חותכת את עצמה, היא נקראת קשת, והקצוות שלה קשורים קשתית. קשירות מסילתית וקשירות קשתית של נקודות הם יחסי שקילות, ויש להן מחלקות שקילות, הנקראות, בהתאמה, רכיבי קשירות מסילתית ורכיבי קשירות קשתית. מרחב קשיר מסילתית מקומית שבנוסף לכך הוא קשיר, הוא קשיר מסילתית. זה נובע מכך שבמרחב קשיר מסילתית מקומית, כל רכיב קשירות מסילתית הוא קבוצה פתוחה, לכן רכיבי קשירות שונים (שהם תמיד זרים זה לזה) יתנו פירוק לפתוחות זרות, בסתירה לקשירות. לכן במרחב כזה קיים רכיב קשירות מסילתית יחיד.

הקשר בין המרכיבים השונים

רכיבי הקוואזי-קשירות במרחב הם הגדולים ביותר. כאמור, כל רכיב קוואזי-קשירות הוא איחוד של רכיבי קשירות. אלו, בתורם, הם איחוד של רכיבי קשירות מסילתית, ואת האחרונים אפשר לכתוב כאיחוד של רכיבי קשירות קשתית. יש דוגמאות המראות שהרכיבים (ויחסי השקילות המתאימים להם) עשויים להיות שונים זה מזה.

מקורות

  • דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 4 (כרך ב'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.
  • Counterexamples in Toplogy, L.A. Seen and J.A. Seebach Jr., Chapter 4.

ראו גם

קישורים חיצוניים

Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0