מכונת אטווד מתנדנדת

מכונת אטווד המתנדנדת. המסה המתנדנדת, המסומנת m, יכולה להתנדנד בחופשיות, בעוד שהמסה הגדולה יותר M יכולה רק לנוע מעלה ומטה.

מכונת אטווד מתנדנדת (באנגלית: Swinging Atwood's machine) היא מנגנון שמזכיר מכונת אטווד פשוטה אלא שאחת המסות מורשית להתנדנד במישור דו-ממדי, מה שמניב מערכת דינמית כאוטית בעבור ערכים מסוימים של פרמטרי המערכת ותנאי ההתחלה. מכונה זאת היא אחת המערכות הפשוטות ביותר המדגימות צמיחת התנהגות מכנית עשירה מבחינה מתמטית מתוך עקרונות התנועה הבסיסיים, ומכאן חשיבותה.

המערכת מורכבת משתי מסות (מסה אחת m בקצה המטוטלת, ומסה שנייה M המהווה משקולת נגד) המחוברות בחוט בעל אורך קבוע התלוי על שתי גלגלות חסרות חיכוך בעלות רדיוס אפס כך שהמטוטלת יכולה להתנדנד בחופשיות מבלי להתנגש במשקולת הנגד.

מכונת אטווד הסטנדרטית מאפשרת רק פתרונות פשוטים שמסתיימים בכך שאחת המשקולות מתנגשת בגלגלת שלה (למעט במקרה $M=m$ , בו משקל המסות שווה ולא נוצרת תנועה). לעומת זאת, מכונת אטווד מתנדנדת עם $M>m$ עשויה להניב מגוון תנועות מורכבות של המסה m אודות לכוח התגובה הצנטריפוגלי של המטוטלת, המתנגד בחוזקה למשקל משקולת הנגד.

משוואות התנועה

מסלול מערכת אטווד מתנדנדת עבור יחס מסות M/m = 4.5.

מערכת אטווד מתנדנדת היא מערכת בעלת שתי דרגות חופש, אשר הקואורדינטות המוכללות הטבעיות לתיאורה הן המרחק בין המסה המתנדנדת לגלגלת שלה והזווית שיוצר החוט שלה עם האנך (מכיוון שהאורך הכולל של החוט קבוע, גובה המסה הגדולה יותר נקבע על פי רדיוס זה). ניתן לגזור את משוואת התנועה בעזרת הפורמליזם הלגארנז'י של המכניקה האנליטית. תהי המסה המתנדנדת $m$ והמסה הלא מתנדנדת $M$ . האנרגיה הקינטית של המערכת, $T$ , היא:

{\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}Mv_{M}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)\end{aligned}}

כאשר $r$ הוא המרחק בין המסה המתנדנדת לגלגת שלה, ו- $\theta$ הזווית עם האנך. האנרגיה הפוטנציאלית $U$ היא אך ורק אודות לתאוצת הכובד:

{\begin{aligned}U&=Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}

ניתן לפיכך להגדיר לגראנז'יאן ${\mathcal {L}}$ :

{\mathcal {L}}=T-U={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-Mgr+mgr\cos {\theta }

ניעזר במשוואת אוילר-לגראנז' כדי לגזור את משוואות התנועה, שהן צמד משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, אחת עבור כל אחת מהקואורדינטות $r$ ו- $\theta$ . ראשית, המשוואה עבור הזווית $\theta$ היא:

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)\\-mgr\sin {\theta }&=2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}+mr^{2}{\ddot {\theta }}\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+g\sin {\theta }&=0\end{aligned}}

והמשוואה עבור המרחק $r$ היא:

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)\\mr{\dot {\theta }}^{2}-Mg+mg\cos {\theta }&=(M+m){\ddot {r}}\end{aligned}}

נפשט את המשוואות באמצעות הגדרת יחס המסות $\mu ={\frac {M}{m}}$ . צמד המשוואות לעיל יהפכו כעת ל-:

r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+g\sin {\theta }=0

(\mu +1){\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}+g(\mu -\cos {\theta })=0

נשים לב שאם תנאי ההתחלה יהיו כאלה שגם $\theta$ וגם ${\dot {\theta }}$ הן אפס, המקרה הפרטי המתקבל הוא זה של מכונת אטווד סטנדרטית:

{\ddot {r}}=g{\frac {1-\mu }{1+\mu }}=g{\frac {m-M}{m+M}}

למכונת אטווד מתנדנדת יש מרחב פאזה ארבע-ממדי המוגדר על ידי הקואורדינטות $r$ , $\theta$ והתנעים הקנוניים המתאימים להן $p_{r}$ ו- $p_{\theta }$ . אף על פי כן, מכיוון שהאנרגיה הכוללת היא שמורה של התנועה, מרחב הפאזה הוא רק שלוש-ממדי.

אינטגרביליות של משוואות התנועה

ניתן לסווג מערכות המילטוניות כאינטגרביליות ולא-אינטגרביליות. מכונת אטווד מתנדנדת היא אינטגרבילית עבור $\mu =M/m=3$ . ידוע שלמערכת יש התנהגות "סדירה יחסית" בעבור $\mu =4n^{2}-1=3,15,35,...$ , אבל המקרה $\mu =3$ הוא המקרה הידוע היחיד בו משוואות התנועה אינטגרביליות. הוכח שהמערכת אינה אינטגרבילית בעבור $\mu \in (0,1)\cup (3,\infty )$ , בעוד שבעבור ערכים אחרים של יחס המסות המערכת מפגינה התנהגות כאוטית.

מסלולים אופייניים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

חסימות מסלולי המערכת

בעבור כל מנח התחלתי של המערכת, ניתן להראות שמיקום המסה המתנדנדת חסום על ידי עקומה שהיא חתך חרוט, כשהגלגלת שלה היא תמיד המוקד של חתך החרוט הזה. המשוואה של העקום הזה ניתנת לגזירה מניתוח אנרגיה של המערכת, ותוך שימוש בשימור האנרגיה. נניח ש- $m$ משוחררת ממצב מנוחה במיקום התחלתי $r=r_{0}$ ו- $\theta =\theta _{0}$ . האנרגיה הכוללת של המערכת היא לפיכך:

E={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}

כעת, יש לשים לב, שעל עקומה חוסמת גבולית זאת, מהירות המסה המתנדנדת חייבת להתאפס. לפיכך מתקבל השוויון:

Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}

כדי להיווכח שזוהי משוואת חתך חרוט, נבודד את $r$ :

{\begin{aligned}r&={\frac {h}{1-{\frac {\cos {\theta }}{\mu }}}}\\h&=r_{0}\left(1-{\frac {\cos {\theta _{0}}}{\mu }}\right)\end{aligned}}

נשים לב שהמונה במשוואה הראשונה הוא קבוע שתלוי רק במיקום ההתחלתי במקרה זה, שכן הנחנו תנאי התחלה של מנוחה. האקסצנטריות של חתך החרוט הזה היא ${\frac {1}{\mu }}$ . עבור $\mu >1$ , זוהי אליפסה, המערכת חסומה והמסה המתנדנדת תמיד נשארת בתוך גבולות האליפסה. עבור $\mu =1$ זוהי פרבולה ועבור $\mu <1$ זוהי היפרבולה; בכל אחד מהמקרים האחרים, מצב המערכת אינו חסום. כאשר $\mu$ נעשה גדול מאוד, העקום התוחם הולך ומתקרב לצורת מעגל.