ממוצע הרמוני

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, ממוצע הרמוני הוא סוג של ממוצע. הוא בדרך כלל משמש למיצוע של קצבי שינוי (rates).

הממוצע ההרמוני של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מספרים ממשיים חיוביים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,\ldots,x_n} הוא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=\frac{n}{\dfrac1{x_1}+\cdots+\dfrac1{x_n}}=\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i}}}

כלומר, זהו ההופכי של הממוצע החשבוני של ההופכיים.

קשר לממוצעים אחרים

בנייה גאומטרית של ממוצעים נפוצים (עבור 2 ערכים בלבד): עבור שני קטעים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} , בונים חצי מעגל שקוטרו הוא הקטע הבנוי משני קטעים אלה (הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b} ).

  • הממוצע החשבוני של אורכי הקטעים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} הוא אורכו של רדיוס המעגל (הקטע A).
  • הממוצע ההנדסי הוא אורכו של האנך לקוטר ממפגש הקטעים עד שפת המעגל (הקטע G).
  • הממוצע ההרמוני הוא אורכו של היטל הקטע הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} על רדיוס המעגל (הרדיוס הנוצר בין חיתוך הקטע הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} עם שפת המעגל ומרכזו) (הקטע H).

ממוצעים אלו נקראים בהכללה "הממוצעים הפיתגוריים".

  • שורש ממוצע הריבועים הוא אורכו של האלכסון הגדול בין הקטעים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,G} (הקטע Q).

הממוצע ההרמוני הוא אחד משלושת הממוצעים הפיתגוריים. עבור קבוצות מספרים שמכילות לפחות 2 איברים שונים, הממוצע ההרמוני הוא הקטן ביותר מבין השלושה (בעוד שהממוצע החשבוני הוא הגדול ביותר והממוצע ההנדסי נמצא ביניהם). אם הקבוצה מכילה רק איברים זהים (למשל {2,2,2}), אזי שלושת הממוצעים יהיו שווים (במקרה של הדוגמה לעיל, ל-2).

הממוצע ההרמוני הוא המקרה הפרטי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_{-1}} של ממוצע חזקה.

מאחר שממוצע הרמוני של קבוצת מספרים נוטה לעבר המספר הקטן ביותר שבה, הוא נוטה למזער את ההשפעה של מספרים גדולים ולהגדיל את ההשפעה של מספרים קטנים.

לעיתים משתמשים בטעות בממוצע חשבוני במקום שבו צריך להשתמש בממוצע הרמוני.[1] בדוגמת המהירויות המופיעה בהמשך, הממוצע החשבוני 50 הוא שגוי וגדול מדי.

ממוצע הרמוני של 2 מספרים

עבור המקרה הפרטי של שני מספרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,x_2} , הממוצע ההרמוני שווה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=\frac{2x_1x_2}{x_1+x_2}}

במקרה זה, הממוצע ההרמוני קשור לממוצע החשבוני הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}} ולממוצע ההנדסי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=\sqrt{x_1x_2}} על ידי הקשר

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=\frac{G^2}{A}}

מכאן נובע כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=\sqrt{AH}} . כלומר, הממוצע ההנדסי של 2 מספרים שווה לממוצע ההנדסי של הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני.

ממוצע הרמוני משוקלל

בדומה לממוצע משוקלל, ניתן להגדיר גם ממוצע הרמוני משוקלל: תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_1,\ldots,w_n} סדרה של משקלים עבור סדרת המספרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,\ldots,x_n} , אזי הממוצע ההרמוני המשוקלל מוגדר להיות:

אם כל המשקלים שווים אז מקבלים בחזרה את הממוצע ההרמוני הרגיל.

דוגמאות

בתורת המספרים

מלבד הנכתב לעיל, משתמשים בממוצע ההרמוני על מנת להגדיר סוגי מספרים – למשל, מספר אור.

בפיזיקה

במספר מצבים, בייחוד במצבים בהם מעורבים קצבים (rates) ויחסים, הממוצע ההרמוני מספק את המספר הממוצע המאפיין את המערכת בצורה הטובה ביותר.

למשל, אם רכב נוסע במהירות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} (נניח 60 קמ"ש) מרחק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ואז נוסע את אותו מרחק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} במהירות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} (נניח 40 קמ"ש), אזי המהירות הממוצעת בה נסע היא הממוצע ההרמוני של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v,u} (במקרה שלנו – 48 קמ"ש).

נסביר זאת: נניח שהמרחק הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} הוא 20 ק"מ. אזי את הקטע הראשון הוא נסע ב-20 דקות (שליש שעה) ואת הקטע השני הוא נסע ב-30 דקות (חצי שעה). יוצא מכך שהוא נסע סך הכול 40 ק"מ ב-50 דקות (הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac56} השעה) – כלומר, הוא נסע במהירות ממוצעת של

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar v=\frac{\text{distance}}{\text{time}}=\frac{40}{\frac56}=40\cdot\frac65=48}

לכן הממוצע ההרמוני במקרה זה הוא סך כל הדרך חלקי סך כל זמן הנסיעה, וזה הממוצע הנכון (בניגוד לממוצע החשבוני).

הטעות הנפוצה, שאם מדובר באותו הקטע, אזי המהירות הממוצעת היא פשוט ממוצע (חשבוני) של המהירויות הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {40+60}{2}}=50} נובעת מהטעות הלוגית שהנסיעה בשתי הפעמים הייתה באורך זהה (מבחינת זמן). אך הנסיעה השנייה (במהירות 40 קמ"ש) הייתה איטית יותר, ולכן התבזבז והושקע בה יותר זמן של נסיעה במהירות איטית, והמשקל[2] שלה בממוצע יהיה יותר גדול. מכאן, שאין זה מפתיע שהמהירות הממוצעת הכוללת היא רק 48 קמ"ש, וקטנה במעט מהאינטואיציה לומר שהמהירות הממוצעת היא 50 קמ"ש.

אותו עקרון תקף גם ליותר משני מקטעים: בהינתן סדרה של תת-נסיעות במהירויות שונות בכל תת-נסיעה, אך אותו מרחק בכל תת-נסיעה, אזי המהירות הממוצעת היא הממוצע ההרמוני של כל המהירויות בכל תתי-הנסיעה (אם כל תת-נסיעה כיסתה מרחק שונה יש להשתמש בממוצע משוקלל).

ברם, אם הרכב נסע במהירות מסוימת במשך זמן מסוים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} – פעם במהירות ופעם במהירות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} , אזי המהירות הממוצעת היא הממוצע החשבוני.

באופן דומה, אם מחברים 2 נגדים במקביל, האחד בעל התנגדות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_1} (נניח 60 אוהם) והשני בעל התנגדות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_2} (נניח 40 אוהם), אזי אפשר לקבל אפקט עם התנגדות זהה כאשר מחברים במקומם 2 נגדים בעלי התנגדות 48 אוהם כל אחד (ההתנגדות הכוללת היא 24 אוהם, לפי נוסחת ההתנגדות של חיבור נגדים במקביל: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac1R=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}} ). אך אם מחברים שני נגדים בטור, ההתנגדות הכוללת תהיה שקולה לסכום ההתנגדויות, ולכן יש להחליפם ב-2 נגדים (בטור) בעלי התנגדות 50 אוהם לכל אחד (זהו ממוצע חשבוני של התנגדויות הנגדים המקוריים). גם כאן ניתן להכליל למקרה של יותר משני נגדים, כאשר כולם מחוברים במקביל או כולם מחוברים בטור.

במדעים אחרים

נזקקים לממוצע הרמוני כאשר מחשבים זמן ממוצע של עבודה משותפת. נניח למשל, כי משאבה המופעלת על ידי גז מסוגלת לרוקן בריכה ב-4 שעות, ומשאבה המופעלת על ידי חשמל מרוקנת את אותה בריכה ב-6 שעות. אזי יארך לשתי המשאבות יחד לרוקן את הבריכה ב- הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {4+6}{4}}\cdot 6} שעות; כלומר, 2.4 שעות. זהו מחצית הממוצע ההרמוני בין 4 ל-6.

בהידרולוגיה, הממוצע ההרמוני משמש למצע מוליכות הידראולית של זרימה הניצבת לשכבות (למשל, שכבות גאולוגיות או שכבות קרקע). מצד שני, עבור זרימה המקבילה לשכבות משתמשים בממוצע חשבוני.

בניתוח סטטיסטי של תוצאות משחקי כדור בסיס (בייסבול), גודל, הנקרא "Power-speed number", עבור שחקן מסוים הוא ההמוצע ההרמוני של מספר הקפות ההום ראן שהוא עשה ושל מספר הבסיסים שהוא "גנב".

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ *Statistical Analysis, Ya-lun Chou, Holt International, 1969, ISBN 0030730953
  2. ^ משקל = מידת השפעה. ראו למשל בערך ממוצע משוקלל.