חופשי מריבועים
בתורת החוגים, איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} בתחום פריקות יחידה נקרא חופשי מריבועים או חסר ריבועים אם לא קיים ריבוע לא טריוויאלי המחלק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} . באופן פורמלי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} חופשי מריבועים אם כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s^2\mid r} הוא בהכרח איבר הפיך (ואז הריבוע מחלק כל איבר בחוג).
שלם חופשי מריבועים
בחוג השלמים, מספר חופשי מריבועים הוא מספר שבפירוק שלו לגורמים ראשוניים כל מספר ראשוני מופיע פעם אחת לכל היותר. לדוגמה, המספר 266 הוא חופשי מריבועים משום ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 266 = 2 \cdot 7 \cdot 19} ואילו 20 אינו חופשי מריבועים משום ש-4 הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2^2)} מחלק אותו. שלם חופשי מריבועים שווה לרדיקל שלו. לכל מספר שלם יש הצגה יחידה כמכפלה של שלם חופשי מריבועים ומספר ריבועי (כש-1 נחשב גם חופשי מריבועים וגם ריבוע).
הוכחה
יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=\prod^m_{i=1}p_i^{n_i}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1,...,p_m} שונים, והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_i} מייצג את מספר הפעמים שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_i} מופיע בהצגה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . נקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=\left(\prod^m_{i=1}p_i^{\left\lfloor\frac{n_i}{2}\right\rfloor}\right)^2\cdot\left(\prod^m_{i=1}p_i^{n_i\!\!\!\mod \!2}\right)} , מכפלה של מספר ריבועי ומספר חסר ריבועים.
