מספר פרמה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת המספרים, מספרי פרמה הם מספרים טבעיים מהצורה , כאשר מספר שלם אי־שלילי. המספרים נקראים על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שחקר אותם לראשונה.

ניתן להוכיח שכאשר הוא מספר ראשוני, חייב להיות חזקה של 2. מכאן: כל מספר ראשוני מהצורה הוא מספר פרמה ונקרא ראשוני פרמה. פרמה הבחין שחמשת המספרים הראשונים בסדרה,

הם ראשוניים, וקבע (בסביבות 1640) שכל המספרים בסדרה הם ראשוניים.

כמאה שנים אחר־כך גילה לאונרד אוילר שהמספר הבא בסדרה אינו ראשוני:

יתרה מזו, אוילר הראה שכל גורם ראשוני של מוכרח להיות מהצורה (הוכחה: אם אז הסדר של 2 בחבורת אוילר של הוא , ולכן מספר זה מחלק את סדר החבורה שהוא ). הגורם 641 הוא הראשוני החמישי בלבד מהצורה . מאז התגלו גורמים ראשוניים של מספרי פרמה רבים, כגון

ולא נמצא אף ראשוני פרמה נוסף.

אחת התכונות המעניינות של מספרי פרמה הוא הקשר שלהם לבעיות הגאומטריות של ימי קדם. גאוס הוכיח שניתן לבנות בסרגל ובמחוגה מצולע משוכלל בן צלעות, כאשר ראשוני, אם ורק אם הוא ראשוני פרמה. ובאופן כללי ניתן לבנות מצולע משוכלל בן צלעות אם ורק אם הוא מכפלה של ראשוניי פרמה שונים זה מזה וחזקה כלשהיא של 2.

מספר בעיות פתוחות בתורת המספרים עוסקות במספרי פרמה:

  • האם הוא מספר פריק לכל ?
  • האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה?
  • האם יש מספר אינסופי של מספרי פרמה פריקים?

עד כה פורקו פירוק מלא לגורמים 11 מספרי פרמה הראשונים; המספר הראשון שטבעו (ראשוני או פריק) עדיין אינו ידוע הוא ; ונמצאו עוד כ־250 מספרי פרמה שהוכחו כפריקים.[1]

מקורות

  • L.E. Dickson, Theory of Numbers, Vol. I, Chapter XV.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים