מרחב פרשה-אוריסון

בטופולוגיה, מרחב פרשה-אוריסון הוא מרחב טופולוגי בו הסגור הסדרתי מתלכד עם הסגור הטופולוגי. המרחב קרוי על שמם של שניים ממפתחי הטופולוגיה, פאבל סמואילוביץ' אוריסון ו-Maurice Fréchet.

הגדרה פורמלית

יהי $X$ מרחב טופולוגי. נאמר ש-$X$ הוא מרחב פרשה-אוריסון אם לכל תת קבוצה $A\subseteq X$ מתקיים $cl(A)=scl(A)$, כאשר $cl$ הוא הסגור הטופולוגי ו-$scl$ הוא הסגור הסדרתי.

דוגמאות

• כל מרחב מטרי הוא מרחב פרשה-אוריסון.
• כל מרחב המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה הוא גם מרחב פרשה אוריסון.
• במרחב פרשה אוריסון, רציפות פונקציות שקולה לעקרון היינה, כלומר - פונקציה ממרחב פרשה אוריסון היא רציפה אם ורק אם היא שומרת על התכנסות סדרות. תוצאה זו איננה נכונה במרחב כללי (המרחב בסעיף הבא הוא דוגמה לכך).
• דוגמה למרחב שאינו פרשה אוריסון - נביט במרחב $\mathbb {R} \cup \{p\}$ כאשר $p\notin \mathbb {R}$, עם הטופולוגיה $T=\{A\subseteq X|\quad p\notin A\vee |{A}^{c}|\leq {\aleph }_{0}\}$. במרחב זה מתקיים $cl(\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cup \{p\};scl(\mathbb {R} )=\mathbb {R}$.

מרחבים סגורים סדרתית

מרחב הוא סגור סדרתית אם כל תת-קבוצה סגורה סדרתית שלו, היא סגורה. מרחב הוא פרשה-אוריסון אם ורק אם כל תת-מרחב שלו הוא סגור סדרתית. בפרט, מרחבי פרשה-אוריסון הם סגורים סדרתית; ההיפך אינו נכון.

ראו גם

• סגור סדרתי
• סגור (טופולוגיה)