סגור (טופולוגיה)

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה $S$ השייכת למרחב $X$ הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את $S$ .

מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי $S$ ואת כל הנקודות ה"נוגעות" בקבוצה $S$ .

נהוג לסמנו בסימונים ${\text{Cl}}(S),{\bar {S}}$ .

הגדרה פורמלית

יהי $X$ מרחב טופולוגי כלשהו, ותהי $S\subseteq X$ קבוצה. אם $\Lambda$ היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות $S\subseteq A\subseteq X$ , אזי הסגור של $S$ יוגדר על ידי:

${\bar {S}}={\text{Cl}}(S)=\bigcap _{A\in \Lambda }A$

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):

• ${\text{Cl}}(S)$ היא קבוצת כל האיברים של $X$ שבכל סביבה שלהם קיים איבר של $S$ (לא בהכרח שונה מהם).
• ${\text{Cl}}(S)=S\cup S'$ , כאשר $S'$ היא הקבוצה הנגזרת של $S$ .
• הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: ${\text{Cl}}(A)={\big (}{\text{Int}}(A^{c}){\big )}^{c}$ .

דוגמאות

• הסגור של קטע פתוח $(a,b)$ הוא הקטע הסגור $[a,b]$ .
• הסגור של קבוצת המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ הוא הישר הממשי כולו $\mathbb {R}$ .

תכונות הנוגעות לסגור

• כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: $A={\text{Cl}}(A)$ . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן ${\text{Cl}}(A)={\text{Cl}}{\big (}{\text{Cl}}(A){\big )}$ .
• $A\subseteq B\ \Rightarrow \ {\text{Cl}}(A)\subseteq {\text{Cl}}(B)$
• ${\text{Cl}}(A\cap B)\subseteq {\text{Cl}}(A)\cap {\text{Cl}}(B)$
• ${\text{Cl}}(A\cup B)={\text{Cl}}(A)\cup {\text{Cl}}(B)$
• $f$ היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל $A$ בתחום שלה מתקיים $f{\big (}{\text{Cl}}(A){\big )}\subseteq {\text{Cl}}{\big (}f(A){\big )}$ . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
• אם $A$ קבוצה קשירה, לכל $A\subseteq B\subseteq {\text{Cl}}(A)$ מתקיים שגם $B$ קבוצה קשירה.
• קבוצה $A$ במרחב $X$ המקיימת ${\text{Cl}}(A)=X$ נקראת קבוצה צפופה.
• קבוצה $A$ במרחב $X$ המקיימת ${\text{Int}}{\big (}{\text{Cl}}(A){\big )}=\varnothing$ נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.