משוואות תנועה

משוואות תנועה הן תיאור מתמטי להתנהגות של מערכות פיזיקליות המציגות את התנועה כתלות בזמן. כלומר, משוואות התנועה מתארות את אופי המערכת הפיזיקלית כאוסף של פונקציות מתמטיות בעזרת משתנים דינמים: בדרך כלל על פי מתן קואורדינטות מדויקות במרחב ובזמן, ולעיתים אף משתנים נוספים, כדוגמת תנע או כוח. לרוב, נהוג לסמן את המיקומים בקואורדינטות כלליות, ולסמנן במשתנה כלשהו. במכניקה הקלאסית, הפונקציות מוגדרות במרחב האוקלידי, ובתורת היחסות מופיעות בתור מרחבים עקומים. אם הדינמיקה של מערכת ידועה, המשוואות הן למעשה משוואות דיפרנציאליות המתארות את התנועה והדינמיקה במערכת.

דינמיקה וקינמטיקה

ישנן שתי צורות לתיאור תנועה: דינמיקה וקינמטיקה. דינמיקה היא כללית, כיוון שהמומנטים, הכוחות והאנרגיה במערכת נלקחים בחשבון. לעיתים המונח דינמיקה מתייחס למשוואות הדיפרנציליות שהמערכת מתייחסת אליהן (כמו החוק השני של ניוטון או משוואות אוילר), ולעיתים אחרות מתייחס המונח לפתרונות של המשוואות הללו.

קינמטיקה, בהיותה פשוטה בהרבה, כוללת רק משתני מיקום וזמן. במקרים של תאוצה קבועה, משוואות התנועה הפשוטות הללו מכונות בדרך כלל למשוואות "SUVAT", שפרוש שמן הוא:

• S - Displacement (העתק, מרחק)
• U - Intial Velocity (מהירות התחלתית)
• V - Final Veloccity (מהירות סיום)
• A - Acceleration (תאוצה)
• T - Time (זמן)

מכאן, שמשוואות התנועה הן למעשה קבוצה תחת הערך תנועה. סוגי התנועה העיקריים הם סיבובים, פניות, תנודות, או כל שילוב של אלה. מבחינה היסטורית, משוואות תנועה התפתחו מהמכניקה הקלאסית והורחבו למכניקה שמיימית, על מנת לתאר את התנועה של אובייקטים כבדים. לאחר מכן, הן הופיעו באלקטרודינמיקה, לשם תיאור התנועה של גופים טעונים בשדות מגנטים וחשמליים. עם התקדמות תורת היחסות הכללית, המשוואות הקלאסיות של התנועה השתנו. בכל המקרים הללו המשוואות הדפרנציאליות תוארו על ידי קואורדינטות של מקום וזמן, שהושפעו מכוחות או שינויי אנרגיה.

המשוואות של מכניקת הקוונטים יכולות גם להיחשב כמשוואות תנועה, כיוון שהן משוואות דפרנציאליות של תנועת גלים, ומתארות איך תורת הקוונטים היא הגיונית כאשר משתמשים בקואורדינטות המיקום והזמן. קיימת השוואה בין משוואות התנועה לתחומים נוספים בפיזיקה, גלים למשל.

אופן השימוש במשוואות

משוואות התנועה בדרך כלל כוללות:

1. משוואה דפרנציאלית של תנועה, בדרך כלל באמצעות חוקים פיזיקליים ושימוש בקבועים פיזיקליים
2. בחירת הצירים ובחירת נקודת האפס
3. פונקציה של המיקום או התנע יחד עם הזמן, שמתארת את הדינמיקה של המערכת
4. פתרון המשוואה הדפרנציאלית תוך שימוש בתנאי התחלה (או תנאי שפה)

המשוואה הדפרנציאלית היא בדרך כלל תיאור כללי של הנחה, ולעיתים מותאמת באופן ספציפי למצב מסוים. הפתרון, אם כן, מתאר בדיוק כיצד המערכת תתנהג בכל הפעמים שלאחר המצב ההתחלתי, בהתאם לתנאים המוגדרים.

מכניקה ניוטונית

ייתכן כי זה יהיה קל לרשום את משוואות התנועה בצורה וקטורית, על ידי שימוש בחוקי התנועה של ניוטון, אבל הרכיבים יהיו רבים ומסובכים עם זמן ומיקום ספציפי, ולפתור אותן זה לא קל בכלל. לעיתים קרובות יש עודף של משתנים שמקשים לפתור את הבעיה, כך שחוקי ניוטון הם הדרך היעילה ביותר למצוא ולפתור את הבעיה. במקרים פשוטים של גאומטריה במישור, שימוש בקואורדינטות קרטזיות עובד טוב, אבל שימוש בכל מערכת קואורדינטות אחרת הופך להיות מסובך ביותר.

החוק השני של ניוטון

ערך מורחב – חוקי ניוטון

החוק המפורסם והמפותח ביותר של ניוטון לתנועה הוא החוק השני. ישנן מספר דרכים לכתוב להשתמש בו, והראשית היא: $\mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {p} }{{\rm {d}}t}},$ כאשר P הוא המומנט ו F הוא הכוח הפועל על הגוף. החוק גם נכתב בצורה זו:

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

כיוון ש-m הוא משתנה שלרוב לא משתנה במכניקה הניוטונית. בכל מקרה, המומנט של צורת כתיבה זו הוא עדיף כיוון שהיא מאורגנת יותר ומתאימה למערכות רבות יותר, ומותאמת גם לתורת היחסות הפרטית והכללית. למספר גופים, משוואת התנועה בשביל הגוף ה-I מושפעת מגופים אחרים:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}\,\!$

כאשר $p_{i}$ הוא המומנט של הגוף ה-$i$, $F_{ij}$ הוא הכוח על הגוף ה-$i$ על ידי הגוף ה-$j$ ו-$F_{E}$ הוא הכוח החיצוני.

שימוש

מספר דוגמאות מחוקי ניוטון כוללים תיאור התנועה של מטוטלת:

$mg\sin \theta =m{\frac {{\rm {d}}^{2}(\ell \theta )}{{\rm {d}}t^{2}}}+0\Rightarrow g\sin \theta =\ell {\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}\,\!$

משוואה הרמונית:

$F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x\right),$

או של כדור שנזרק באוויר, עם התנגדות כמו רוח, מתואר על ידי וקטור שדה:

$R=R(x,y,z,t)$:

$-{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {{\rm {d}}^{2}\mathbf {r} }{{\rm {d}}t^{2}}}+0\Rightarrow -{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A} ={\frac {{\rm {d}}^{2}\mathbf {r} }{{\rm {d}}t^{2}}}\,\!$

כאשר G הוא קבוע הכבידה העולמי, M זו המסה של כדור הארץ וA זו התאוצה של הגוף בהתאם להתנגדות האוויר במיקום R ובזמן T. זהו למעשה שימוש בחוק הכבידה, כאשר מסת הכדור m מתבטלת.

אנלוגיה לשדות וגלים

בשונה ממשוואות התנועה לתיאור גופים מכנים, שהן בדרך כלל משוואות דפרנציאליות, המשוואות האנלוגיות במשוואות הגלים ובשדות הן תמיד חלק ממשוואות דפרנציאליות, כוון שהגלים או השדות הן פונקציות של מקום וזמן. לפעמים, משוואות הגל או השדה נקראות גם "משוואות התנועה"

משואות שדה

משוואות המתארות את התלות של המרחב והתפתחות הזמן בשדות נקראות "משוואות שדה". אלו כוללות את משוואות נביאר סטוקס למדידת מהירות השדות, את משוואות מקסוול בשדות האקטרומגנטיים, וכן את משוואות השדה של איינשטיים לכבידה.