משפט הורוויץ (אנליזה מרוכבת)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מרוכבת, משפט הורוויץ הוא משפט בדבר האפסים של סדרת פונקציות הולומורפיות המתכנסת במידה שווה על תתי קבוצות קומקפטיות.

המשפט נקרא על שמו של אדולף הורוויץ, מתמטיקאי שעסק רבות בתורת הפונקציות המרוכבות. בהוכחת משפט ההעתקה של רימן יש שימוש במשפט הורוויץ.

תהי סדרת פונקציות הולומורפיות על תחום פתוח וקשיר . נניח שהסדרה מתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית לפונקציה . אם לפונקציית הגבול יש שורש מסדר , אז החל ממקום מסוים, לכל יש בדיוק שורשים בסביבה מספיק קטנה של . בנוסף, כאשר השורשים שואפים ל-.

מסקנות

  • גרסה נפוצה של המשפט היא - אם בסדרת פונקציות כנ"ל אף פונקציה לא מתאפסת, אז פונקציית הגבול היא או אפס זהותית, או שאיננה מתאפסת אף היא.
  • אם בסדרת פונקציות כנ"ל כל פונקציה היא חד חד ערכית, אז פונקציית הגבול היא או חד חד ערכית או קבועה.