משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

במתמטיקה, בחקר משוואות דיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.

המשפט נקרא גם משפט פיקארד-לינדלוף, משפט הקיום של פיקארד או משפט קושי-ליפשיץ על שמם של המתמטיקאים: צ'ארלס אמיל פיקארד, ארנסט לינדלוף, רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.

משפט הקיום והיחידות

יהי $D$ מלבן סגור המכיל את הנקודה $(t_{0},y_{0})$ בפנים שלו. תהי $f$ פונקציה בשני משתנים, שהיא חסומה ורציפה ב-$D$ , המקיימת שם את תנאי ליפשיץ ביחס למשתנה השני. אז קיימת פונקציה אחת ויחידה $y$ המוגדרת בקטע פתוח סביב $t_{0}$ וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית $y'(t)=f{\bigl (}t,y(t){\bigr )}$ לכל $t$ בקטע, ובנוסף מקיימת את תנאי ההתחלה $y(t_{0})=y_{0}$ .

סקירת ההוכחה

הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרציות פיקארד):

נגדיר $\varphi _{0}(t)=y_{0}$ וגם $\varphi _{i}(t)=y_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f{\bigl (}s,\varphi _{i-1}(s){\bigr )}ds$ .

אז ניתן להראות, באמצעות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של $\varphi _{i}$ (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.

שימוש בלמה של גרינוול (Grönwall) על $|\varphi (t)-\psi (t)|$ , כאשר $\varphi ,\psi$ הם שני פתרונות, יראה כי $\varphi (t)\equiv \psi (t)$ , ולכן הפתרון הוא יחיד.

ראו גם

• משוואה דיפרנציאלית רגילה
• משפט פרוביניוס
• משפט הקיום של פאנו

לקריאה נוספת

• M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)

קישורים חיצוניים

• נקודת שבת והאלגוריתם של פיקארד
• איטרציית פיקארד
• הוכחה למשפט פיקארד-לינדלוף