משפט ואן אובל

בגאומטריה, משפט ואן אובל הוא משפט הנוגע לבנייה של ריבועים על גבי מרובע כללי.

המשפט מוכיח שהקטעים המחברים את מרכזי הכובד של ארבעת הריבועים, מאונכים זה לזה ושווים באורכם.

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הבלגי הנריקוס אוברטוס ואן אובל שהוכיח את המשפט בשנת 1878.

נוסח המשפט

תרשים המציג את משפט ואן אובל

יהי מרובע כללי $◻ABCD$ בונים על גבי צלעותיו ארבעה ריבועים הפונים החוצה מן המרובע, והם $◻ABFE$, ‏$◻BCNM$,‏ $◻CDJI$ ו-$◻DAHG$. מסמנים את מרכזי הכובד של הריבועים הללו ב-$O$,‏ $R$,‏ $Q$ ו-$P$ בהתאמה. אזי:

1. $PR=OQ$
2. $PR\perp OQ$

הוכחה

ניתן להוכיח את משפט ואן אובל באמצעות המישור המרוכב.

משכנים את כלל התרשים של משפט ואן אובל במישור המרוכב. מגדירים $\omega :=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{\frac{i\pi }{4}}$ . יש לשים לב כי $\omega -i\omega =1$ וכי $\omega +i\omega =i$.

ניתן להוכיח כי $O=\omega A+(1-\omega )B$,‏ $R=\omega B+(1-\omega )C$,‏ $Q=\omega C+(1-\omega )D$ ו-$P=\omega D+(1-\omega )A$.

לכן:

$\begin{array}{r}i(P-R)=i((\omega D+(1-\omega )A)-(\omega B+(1-\omega )C))\\ =i\omega D+(i-i\omega )A-i\omega B-(i-i\omega )C\\ =-(1-\omega )D+\omega A+(1-\omega )B-\omega C\\ =(\omega A+(1-\omega )B)-(\omega C+(1-\omega )D)\\ =O-Q\end{array}$

מאחר שבמישור המרוכב הכפלה של קטע ב-$i$ משמרת את אורכו ומסובבת אותו ב-$90^{\circ }$, מקבל כי $PR$ שווה באורכו ל-$OQ$ ומאונך לו.

מ.ש.ל.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט ואן אובל בוויקישיתוף

• גרסה אינטראקטיבית של משפט ואן אובל באתר של Wolfram Demonstrations.
• Three pretty geometric theorems, proved by complex numbers, סרטון בערוץ "Jim Simons", באתר יוטיוב, Jan 12, 2022
• משפט ואן אובל, באתר MathWorld (באנגלית)

ראו גם

• משפט בוטמה
• משפט נפוליאון

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט ואן אובל41949016Q594571