בנייה (גאומטריה)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בגאומטריה, בנייה היא שרטוט של עצמים גאומטריים, כגון קטעים בעלי תכונות מוגדרות, על פי כללים נתונים.

הבנייה הבסיסית בגאומטריה אוקלידית היא בנייה בסרגל ובמחוגה. קיומן של בעיות בנייה שאינן ניתנות לפתרון בכלים אלה הוביל להצעתם של כלי בנייה נוספים, שיאפשרו לפתור בעיות אלה. מאידך ניתנו הוכחות לכך שבעיות בנייה שניתן לפתור הסרגל ובמחוגה ניתן לפתור גם באמצעים מצומצמים יותר.

בנייה בסרגל ובמחוגה

בניית משושה משוכלל באמצעות סרגל ומחוגה
Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – בנייה בסרגל ובמחוגה

הבנייה הבסיסית בגאומטריה אוקלידית היא בנייה בסרגל ובמחוגה, כלומר בנייה המשתמשת בסרגל ובמחוגה בלבד. לעניין זה, הסרגל והמחוגה אינם הכלים הפיזיים המשמשים בשרטוט, אלא הפשטות גאומטריות, המממשות את שלוש ההנחות הראשונות מבין חמש ההנחות של אוקלידס ב"יסודות":

  • הסרגל הגאומטרי הוא כלי המאפשר יצירת קו ישר או קטע ארוך כרצוננו העובר דרך שתי נקודות נתונות. לסרגל אין יכולת מדידה (לא מסומנות עליו שנתות המציינות יחידות אורך), וההנחה היא שאי אפשר ליצור עם הסרגל לבדו שני ישרים מקבילים במרחק נתון זה מזה.
  • המחוגה הגאומטרית מאפשרת להתוות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה, ורדיוסו נתון או שווה למרחק בינה לבין נקודה אחרת.

פעולות אפשריות

הדגמת חמש הפעולות, כאשר למעלה הנתון ולמטה - הבנייה (סדר הפעולות משמאל לימין)

סרגל ומחוגה מאפשרות לבצע שתי פעולות יסודיות:

  1. שרטוט ישר (ארוך כרצוננו) שעובר דרך שתי נקודות נתונות
  2. שרטוט מעגל שמרכזו בנקודה נתונה, והוא עובר דרך נקודה נתונה אחרת.

בנוסף לזה אפשר למצוא את:

  1. נקודת החיתוך של שני ישרים (שאינם מקבילים)
  2. נקודות החיתוך של ישר ומעגל (אם קיימות)
  3. נקודות החיתוך של שני מעגלים (אם קיימות)

בניה במחוגה וסרגל היא שרשרת של פעולות כאלו, המגיעה אל התוצאה המבוקשת.

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

היוונים הקדמונים ניסחו ארבע בעיות, אשר במשך כ-2,000 שנה היו בעיות פתוחות:

כל ארבע הבעיות הוכחו כבלתי פתירות בבנייה בסרגל ובמחוגה, באמצעות יישום אלמנטרי של התורה המתמטית העוסקת בהרחבת שדות.

צמצום ארגז הכלים

למרות שבבעיות הבנייה הקלאסיות מקובל היה להשתמש בשני הכלים, הסרגל והמחוגה, ידוע שאפשר להסתפק בפחות. בשנת 1797 פרסם הגאומטרן האיטלקי לורנצו מסקרוני ספר, שבו הראה שכל בעיה שאפשר לבנות בסרגל ומחוגה, אפשר לבנות גם באמצעות המחוגה לבדה[1]. כדי להראות זאת, הוכיח מסקרוני שבמחוגה ניתן לחבר ולחסר ארכי קטעים, וגם להכפיל ולחלק אורכים זה בזה. (לא ניתן לבנות ישרים, אך ניתן למצוא שתי נקודות המתוות את הישר, ולמעשה לשרטט נקודות כרצוננו הנמצאות על הישר).

כבר ב- 1759 עסק ד'אלמבר בפתרון בעיות בנייה בסרגל בלבד. בעיות אלה מטבען מוגבלות יותר מאשר הבניות במחוגה ובסרגל, משום שהסרגל אינו מאפשר אלא פתרון של משוואות לינאריות. עבודתו של ד'אלמבר המריצה מתמטיקאים צרפתיים אחרים לעסוק בנושא, שהעניין בו גבר אחרי פרסום ספרו של מסקרוני. באותה עת הציע ז'אן-ויקטור פונסלה (Jean-Victor Poncelet ‏; 1867-1788) שהוספת מעגל אחד קבוע במישור (יחד עם המרכז של אותו מעגל), די בה כדי לאפשר לסרגל לפתור כל בעיית בנייה במחוגה וסרגל. השערה זו הוכחה ב-1833 על ידי הגאומטרן יאקוב שטיינר, וזכתה לשם משפט פונסלה-שטיינר.

הרחבת ארגז הכלים

קיומן של בעיות בנייה שאינן ניתנות לפתרון בסרגל ובמחוגה הוביל להצעתם של כלי בנייה נוספים, שיאפשרו לפתור בעיות אלה.

היפיאס הראה שבעזרת קוואדרטריקס, כלי שאיננו בארגז הכלים של הגאומטריה, ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים, וכן הוכח שכלי זה מאפשר את תרבוע העיגול.

כלי אחר שנעשה בו שימוש בהקשר דומה, הוא ה"רצועה", או הסרגל הכפול: סרגל שיש לו שני צדדים ישרים מקבילים, במרחק ידוע. בדומה לסרגל ולמחוגה, אפשר לתאר כלי זה כך:

  • הרצועה הגאומטרית היא כלי המאפשר העברת קו ישר דרך נקודה נתונה A, באופן שמרחקו מנקודה נתונה B הוא גודל קבוע (השווה לרוחב הסרגל).
הרצועה מספקת פתרון נאה לכמה מהבעיות שהוזכרו קודם לכן, כמו הבעיה של הכפלת הקובייה (אותה אפשר לפתור גם באמצעות חיתוך של פרבולות, או בעזרת העקום הקרוי קונכואיד, שבנייתו מיוחסת לניקומדס, בן המאה השנייה לפני הספירה). ארכימדס הראה שאפשר, בעזרת רצועה ומחוגה, לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים.
  • ניתן להגדיר עקום שלישי זווית, ואז בעזרת סרגל ומחוגה לחלק זוויות עד 135° ל-3 חלקים שווים.

הערות שוליים