תורת הקבוצות

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

תורת הקבוצות היא תורה מתמטית בסיסית העוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים שונים זה מזה. התורה מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף. תורת הקבוצות האקסיומטית, המנוסחת בשפה של הלוגיקה המתמטית, מספקת תשתית לכל תחומי המתמטיקה. כשלעצמה, תורת הקבוצות עוסקת בעיקר בתכונות של מונים וסודרים.

את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור ב-1870, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור - בגרמנית), בכתב-העת Mathematische Annalen.

בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים, שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרון בעיות אלה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, ובעקבות צעד זה ההתייחסות לתורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת תורת הקבוצות הנאיבית. תורת הקבוצות הנאיבית עודנה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה והתוצאות שלה נכונות גם בגרסה האקסיומטית.

הגדרת הקבוצה ויחסים בין קבוצות

מנקודת מבט לוגית, נתבונן בעצם כלשהו (אם זהו מספר, סימול מופשט כלשהו, או קבוצה אחרת), ונשאל את השאלה: "האם העצם הזה הוא איבר בקבוצה $A$?". כלומר, על כל עצם x כלשהו נוכל להגיד אך ורק אחת משתי האפשרויות הבאות:

• העצם $x$ איבר בקבוצה $A$
• העצם $x$ אינו איבר בקבוצה $A$

את השייכות מסמנים כך: $x\in A$, כלומר $x$ איבר של הקבוצה $A$. איבר אינו יכול להופיע פעמיים בקבוצה: או שהוא שייך לה, או שאינו שייך. אם $x$ אינו איבר של $A$, מסמנים $x\notin A$.

נתבונן עתה בקבוצה A כלשהי, ועליה נשאל, "האם בקבוצה A יש איברים?"

• אם אין בה איברים, זוהי הקבוצה הריקה ונסמן אותה: $A=\emptyset$.
• אם קיימים בה איברים, אז היא אינה קבוצה ריקה לכן $A\neq \emptyset$.

את הקבוצה $A$ שבה קיימים שלושת האיברים $a,b,c$ נסמן:

$A=\left\{a,b,c\right\}$

יחסים בין קבוצות

אומרים ש-$A$ מוכלת ב-$B$ או חלקית ל-$B$ (ומסמנים $A\subseteq B$) אם כל איבר של $A$ הוא איבר של $B$. יחס חשוב זה מגדיר את השוויון בין קבוצות: קבוצות הן שוות אם יש להן אותם איברים, כלומר $A=B$ אם ורק אם $A\subseteq B$ וגם $B\subseteq A$. זו תכונה מהותית של קבוצות, הממחישה שאין להן מבנה או תכונות מעבר לרשימת האיברים שהן מכילות. שילוב היחסים מאפשר להגדיר חלקיות ממש: $A$ חלקית ממש לקבוצה $B$ אם ורק אם היא חלקית לה, אך אינה שווה לה; במקרה זה כותבים $A\subset B$ או $A\varsubsetneq B$. בעוד שיחס ההכלה הוא יחס סדר חלש, חלקיות אמיתית היא יחס סדר חזק.

פעולות על קבוצות

דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

באוסף של קבוצות מתקיימות הפעולות הבאות:

• איחוד: האיחוד של שתי קבוצות $A$ ו-$B$ הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של $A$ ואת כל האיברים של $B$, בלי איברים אחרים. האיחוד של $A$ ו-$B$ נכתב בדרך כלל כך: $A\cup B$.

בכתיב פורמלי:

$x\in A\cup B$ ($\ x$ הוא איבר ב-$\ A\cup B$) אם ורק אם $x\in A$ או $x\in B$.

• חיתוך: החיתוך של שתי קבוצות $\ A$ ו-$\ B$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-$\ A$ ששייכים גם ל-$\ B$ (או באופן שקול, כל האיברים ב-$\ B$ ששייכים גם ל-$\ A$), ורק אותם. החיתוך של $\ A$ ו-$\ B$ נכתב בדרך כלל כך: $\ A\cap B$.

בכתיב פורמלי:

$\ x\in A\cap B$ ($\ x$ הוא איבר ב-$\ A\cap B$) אם ורק אם $\ x\in A$ וגם $\ x\in B$.

דוגמאות:

• החיתוך של קבוצת אזרחי ישראל עם קבוצת אזרחי צרפת הוא קבוצת האנשים שלהם אזרחות כפולה, ישראלית-צרפתית.
• החיתוך של קבוצת הגברים הישראלים וקבוצת הנשים הישראליות הוא הקבוצה הריקה - אלה שתי קבוצות זרות.

• משלים: משלים של קבוצה $G$ הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-$G$. זאת ביחס לקבוצה $U$ כלשהי שהיא הקבוצה האוניברסלית - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של $U$. נהוג לסמן משלים בסימונים $G^{c}$ או ${\bar {G}}$.

דוגמה: המשלים של קבוצת אזרחי ישראל הוא קבוצת האנשים שאינם ישראלים. בדוגמה זו מובלעת ההנחה שהקבוצה האוניברסלית בהקשר זה היא קבוצת האנשים. בדרך כלל ברור מתוך ההקשר מהי הקבוצה האוניברסלית, אך לעיתים ראוי לציין זאת במפורש.

• הפרש: ההפרש בין קבוצה $A$ לקבוצה $B$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ששייכים ל-$A$ אך לא ל-$B$. מסמנים את ההפרש ב-$A\setminus B$ או $A-B$.

בכתיב פורמלי:

$x\in A\setminus B$ ($\ x$ הוא איבר ב-$A\setminus B$) אם ורק אם $x\in A$ וגם $x\notin B$.

מתקיים $A\setminus B=A\cap B'$.

בהינתן קבוצה $G$, המשלים שלה ביחס לקבוצה $U$ הוא אם כן $G^{c}=U\setminus G$.

• מכפלה קרטזית: בהינתן שתי קבוצות $A,B$, המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת $A\times B$ והיא הקבוצה שמכילה את אוסף הזוגות $(a,b)$ כך ש-$a\in A$, $b\in B$. באופן כללי, אם $\{A_{i}\}_{i\in I}$ קבוצות, אז $\times _{i\in I}{A_{i}}$, שמסומנת גם $\prod _{i\in I}A_{i}$, היא המכפלה הקרטזית שלהן, ובנויה פורמלית מפונקציות $f\colon I\to \bigcup _{i\in I}A_{i}$ כך ש-$f(i)\in A_{i}$ (חשוב לשים לב שאנו מניחים את אקסיומת הבחירה אם ברצוננו להיות בטוחים שאין זו קבוצה ריקה) כפעולה בין קבוצות, המכפלה הקרטזית אינה חילופית ואינה אסוציאטיבית.
• הפרש סימטרי: הפרש סימטרי של שתי קבוצות $A,B$ הוא הקבוצה $C$ המורכבת מכל איברי $A$ שלא שייכים ל-$B$ וכל איברי $B$ שלא שייכים ל-$A$ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

בכתיב פורמלי: ההפרש הסימטרי, המסומן $\triangle$ מוגדר כדלהלן:

$A\,\triangle \,B=(A-B)\cup (B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$

• קבוצת החזקה: קבוצת החזקה של קבוצה נתונה $A$ היא קבוצת כל תתי הקבוצות של $A$, היינו $P(A)=\{B:B\subseteq A\}$. עוצמת קבוצת החזקה היא $2^{|A|}$, ומשפט קנטור קובע כי עוצמת קבוצת החזקה גדולה ממש מעוצמת הקבוצה.

יחסים ופונקציות

יחס

יחסים הם דבר נפוץ מאוד במתמטיקה, המהווים כלי חשוב לזיהוי קבוצות ואיברים. פורמלית, יחס מקבוצה $A$ לקבוצה $B$ הוא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית $R\subseteq A\times B$, ולכל $(a,b)\in R$ מסמנים $aRb$. אומרים שהיחס הוא על קבוצה $A$ אם זה יחס מהקבוצה אל עצמה. למשל, היחס $<$ על הקבוצה $\{1,2,3\}$ הוא היחס $<=\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$.

יחס על $A$ נקרא רפלקסיבי אם $\forall a\in A:(a,a)\in R$, סימטרי אם $(a,a')\in R\Rightarrow (a',a)\in R$, וטרנזיטיבי אם $aRb,bRc\Rightarrow aRc$. יחס המקיים את שלוש התכונות הללו נקרא יחס שקילות - ליחסים כאלה תפקיד בסיסי וחשוב בכל תחומי המתמטיקה, והם מגדירים שקילויות בין איברים וקבוצות, ומאגדים איברים הנחשבים שקולים לאיבר אחד, המכונה מחלקת השקילות. מחלקות השקילות מהוות חלוקה של הקבוצה - הן זרות ואיחודן הוא כל הקבוצה. גם ההפך נכון - בהינתן חלוקה, ניתן להגדיר יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו הן איברי החלוקה. כלומר, יש התאמה מלאה בין יחסי שקילות לחלוקות של קבוצה נתונה.

יחס על $A$ יקרא יחס סדר אם הוא טרנזיטיבי ואנטי רפלקסיבי, היינו $\forall a\in A:(a,a)\not \in R$. היחס יקרא יחס סדר מלא אם כל שני איברים ניתנים להשוואה, ויחס סדר טוב אם הוא מלא ולכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. יחסי הסדר הקלאסיים על המספרים כולם יחסי סדר מלאים. יחס ההכלה הוא יחס סדר לא מלא. לכל יחס סדר ניתן לבנות את דיאגרמת הסה שלו - בדיאגרמה זו יש קו בין איבר תחתון לעליון, אם התחתון מתייחס לעליון. במקרה שהיחס מלא, מתקבלת שרשרת ארוכה של התייחסויות. באופן כללי, שרשרת עולה ביחס היא מהצורה $a_{1}<a_{2}<a_{3}<...$. הלמה של צורן קובעת כי בקבוצה סדורה חלקית, אם לכל שרשרת קיים חסם מלעיל, אז יש בקבוצה איבר מקסימלי.

פונקציה

פונקציה היא התאמה בין קבוצות. זהו מונח כללי מאוד בו משתמשים באופן טוטאלי בכל תחומי המתמטיקה.

פורמלית, פונקציה מקבוצה $A$ (המכונה מקור הפונקציה) לקבוצה $B$ (המכונה טווח הפונקציה) היא יחס חד ערכי, כלומר תת-קבוצה $R\subseteq A\times B$ המקיים $aRb,aRb'\Rightarrow b=b'$. כלומר, לכל איבר במקור מתאים איבר יחיד בטווח. פונקציה המקיימת את התנאי ההפוך נקראת פונקציה חד-חד-ערכית, פונקציה עבורה לכל איבר בטווח קיים מקור נקראת פונקציה על. פונקציה שהיא גם על וגם חד-חד ערכית נקראת שקילות קבוצות; פונקציה כזו היא גם הפיכה, וגם ההפך נכון.

למחקר פונקציות והתכונות שלהן מקום מכריע בכל המתמטיקה. ניתן להגדיר פונקציות משמרות תכונות, פונקציות רציפות, פונקציות גזירות וכו', ולחקור את המבנים הנוצרים. הדגש על מעברים בין אובייקטים, המכליל את הרעיון של הפונקציה, נתון במושג המורפיזם בתורת הקטגוריות.

קבוצה אינסופית ועוצמה

מתי קבוצה היא סופית, ומתי היא אינסופית? נתאר קבוצה אשר מייצגת את כל המספרים הטבעיים, כלומר ...1,2,3 אשר כבר מוכרים לנו מחיי היום יום ונגדיר אותה::

$\mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}$

הקבוצה $\mathbb {N}$ מוגדרת באופן שאינו מאפשר לספור את איבריה, כלומר, אם ננסה לספור אותם אז תמיד יהיו איברים נוספים בקבוצה שעלינו לספור. תכונה זו נלמדה על ידי רבים והוצעו מספר דרכים לתאר קבוצה מסוג זה באופן מתמטי.

קנטור השתמש בדרך אחרת להתמודד עם בעיית הספירה וההתייחסות אל גודלן של קבוצות אלו. הוא החליף את פעולת הספירה האינטואיטיבית בשימוש בכלים מתמטיים כגון פונקציות, דבר שאיפשר להרחיב את היחסים המוכרים בין הקבוצות הסופיות גם לאינסופיות. אם קיים מיפוי דו-כיווני בין שתי קבוצות סופיות, שהוא פונקציה חד-חד ערכית מ-$A$ על $B$, הרי שלשתי הקבוצות יש אותו גודל.

למשל לקבוצות הסופיות $A,B$ המוגדרות:

$A=\left\{1,2,3,4\right\}$

$B=\left\{c,d,e,f\right\}$

נבנה פונקציה חד-חד ערכית מ-$A$ על $B$: (בשימוש בזוגות סדורים)

$f=(A,B,\left\{(1,c),(2,d),(3,e),(4,f)\right\})$

מקיום המיפוי נסיק שקבוצות אלו הן באותו גודל. מצאנו דרך מתמטית לטפל בהשוואת גודלן של קבוצות סופיות בלי לספור את אבריהן. במינוח המתמטי, אם קיים יחס שקילות בין שתי קבוצות. אז הקבוצות הן שוות עצמה.

נבדוק עכשיו שקילות של קבוצות אינסופיות כלשהן, למשל, קבוצות המספרים הטבעיים, וקבוצת הטבעיים הזוגיים המוגדרות:

$\mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}$

$\mathbb {N} _{\text{even}}=\left\{2,4,6,...\right\}$

נגדיר פונקציה:

$f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} _{\text{even}},\quad f(n)=2n$

פונקציה זו, המוגדרת בין שתי הקבוצות, היא חד-חד ערכית ועל. מסקנה: קבוצת המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים.

נגדיר באופן מדויק מהי קבוצה אינסופית:

קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

או לחלופין:

קבוצה היא אינסופית אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ-$A$ ל-$A$ שאינה על $A$.

תכונה זו ודאי לא מתקיימת בקבוצות סופיות, אך היא מתקיימות בקבוצות שעוצמתן אינסופית.

ישנן קבוצות אינסופיות רבות שונות בגודלן זו מזו. מושג העוצמה משמש כיום כלי מרכזי בהתייחסות מתמטית לגודלן של קבוצות אינסופיות (וסופיות). העוצמה של קבוצה היא מונח חשוב שעולה במקומות רבים במתמטיקה. מסמנים את העוצמה של קבוצה ב-$|A|$; אומרים ש-$|A|\leq |B|$ אם יש פונקציה חד-חד-ערכית $f\colon A\to B$, ו-$|B|\leq |A|$ אם יש פונקציה על $f\colon A\to B$.קבוצות נקראות שקולות עוצמה אם יש ביניהן פונקציה הפיכה, ומסמנים $|A|=|B|$. משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קובע כי אם מכך ש-$|A|\leq |B|$, $|B|\leq |A|$ ניתן להסיק כי $|A|=|B|$.

תוצאות נוספות (ולעיתים מפתיעות) ביחסים בין קבוצות אינסופיות: קנטור הוכיח קיום שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים למספרים הרציונליים. כמו כן, אי שקילות בין כל קבוצה לקבוצת החזקה שלה (משפט קנטור) ואי שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לממשיים (האלכסון של קנטור).

קבוצה השקולה לתת קבוצה כלשהי של הטבעיים נקראת קבוצה בת מנייה. חיתוך, מכפלה קרטזית סופית ואיחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה נשאר בן מנייה.

סודרים

לסודרים שימושים רבים בתחומים שונים ולא צפויים במתמטיקה, והם מהווים מונח יסוד בתורת הקבוצות.

סודר הוא קבוצה הסדורה היטב לפי היחס $\in$ שהיא גם $\in$-טרנזטיבית (כלומר, אם $x\in y\in A$ אז $x\in A$. לסודרים מבנה מיוחד - כל סודר הוא יחיד עד כדי שוויון, ומתקיימת בין כל הסודרים טריכוטומיות - כלומר ניתן להשוות באופן יחיד בין כל שני סודרים. במילים אחרות, הסודרים מסודרים אחד אחרי השני במעין שרשרת מאוד ארוכה - בעזרתם ניתן לספור דברים. יתרה מזאת, כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית סדר לסודר יחיד, המהווה מעין נציג קנוני במחלקה שלה.

ניתן גם להגדיר פעולות בין סודרים, כמו חיבור, הפרש, כפל וחזקה. פעולות אלו שומרות חלקית על התכונות של הפעולות הרגילות על מספרים (למשל, החיבור איננו חילופי). ניתן להגדיר פונקציות מונוטוניות ורציפות בין סודרים, ביחס לטופולוגיית סדר.

סודרים מאפשרים להגדיר בתורת הקבוצות את האינדוקציה הטרנספיניטית ולהוכיח את משפט הרקורסיה הטרנספיניטית המהווים הכללה של המונחים אינדוקציה ורקורסיה על הטבעיים, ולהם שימושים רבים.

פרדוקסים

הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, מובילה למספר פרדוקסים, בהם הפרדוקס של ראסל. בעקבות הסתירה אליה הוביל הפרדוקס של ראסל, ובעיות נוספות, בהן הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס לקבוצת החזקה שלה (ראו פרדוקס קנטור) והפרדוקס של בורלי-פורטי, והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל (אקסיומות צרמלו-פרנקל) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.

לקריאה נוספת

• אברהם הלוי פרנקל, מבוא למתמטיקה, כרך שני: האינסוף והמרחב, חטיבה ראשונה: תורת הקבוצות, הוצאת מסדה, 1953

קישורים חיצוניים

• שמואל ברגר, ‏תורת הקבוצות, האוניברסיטה הפתוחה, 1992 (הספר במיזם פא"ר)
• תורת הקבוצות - הרצאות מוקלטות של פרופ' רון אהרוני
• תורת הקבוצות, באתר MathWorld (באנגלית)   
• תורת הקבוצות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32654189תורת הקבוצות