עקום 25519

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בקריפטוגרפיה, עקום 25519 (באנגלית: Curve25519) הוא כינוי לעקום אליפטי מסוים המיועד לשימוש ביחד עם פונקציית דיפי-הלמן בעקום אליפטי (בקיצור ECDH), כחלק מפרוטוקול שיתוף מפתח המבוסס על דיפי-הלמן. העקום מספק ביטחון ברמה של 128 סיביות (גודל מפתח של 256 סיביות) ומהירות ביצוע גבוהה במיוחד. זהו אחד מהעקומים המהירים ביותר הקיימים כיום, הוא אינו מוגן בפטנט וקוד הייחוס שלו הוא נחלת הכלל.

העקום פופולרי מאוד כיום ונמצא בשימוש מעשי נרחב ביישומי אבטחה רבים, במיוחד באבטחת מסרים מיידיים. עקום 25519 פותח ב-2005 על ידי דניאל ברנשטיין שקרא לו בתחילה פונקציית DH[1]. מאוחר יותר הציע לקרוא לעקום בשם זה בשל מבנהו המסתמך על המספר הראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{255}-19} ופונקציית דיפי הלמן נקראה X25519 בהתאם[2].

יתרונות עקום 25519 הם:

  • מהירות מאוד גבוהה על מגוון מעבדים נפוצים.
  • הגנה מפני התקפת תיזמון. פעולות הכפל והחיבור צורכות זמן קבוע.
  • מפתחות סודיים ומפתחות ציבוריים קצרים, רק 32 בתים (256 סיביות).
  • אימות מפתח מיותר. אין צורך לוודא שהמפתח תקף.
  • מימוש קצר בתוכנה.

מבנה מתמטי

העקום Curve25519 הוא עקום מונטגומרי מעל ההרחבה הריבועית של השדה הראשוני המוגדר על ידי המספר הראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{255}-19} יחד עם נקודת בסיס קבועה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=9} ונוסחתו היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^2=x^3+486662x^2+x} .

פרוטוקול דיפי הלמן בעקום זה משתמש בגרסה "דחוסה", שבה מתייחסים רק לקואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} של הנקודה, מה שמאפשר להשתמש באלגוריתם סולם מונטגומרי (המתואר להלן) כדי לבצע כפל נקודות בעקום תוך שימוש במה שקרוי קוארודינטות פרויקטיביות. עקום זה הוא גרסה מפותלת של עקום אליפטי ממשפחת עקומי אדוארד שהם עקומים אליפטיים מיוחדים הנקראים על שם המתמטיקאי הרולד אדוארד שחקר אותם ב-2007. עקום אדוארד מפותל מעל השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} שהמציין שלו אינו 2 הוא מישור אפיני המוגדר על ידי המשוואה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_{E_{a,d}}:ax^2+y^2=1+dx^2y^2}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} הם אלמנטים שונים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=1} מתקבל עקום אדוארד. עקום זה שקול בירציונלית לעקום מונטגומרי שהוא סוג אחר של עקום אליפטי שהיתרון שלו הוא ביכולת לבצע חישובי כפל וחיבור נקודות ביעילות בייצוג פרויקטיבי. בשיטה זו הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=(x,y)} מיוצגת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X:Z)} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=X/Z} (לדוגמה יכול להיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z=1} ). בשיטת ייצוג זו הנקודה מאבדת מידע בשל העובדה שהקואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} אינה משתתפת בחישובים לכן לא יהיה הבדל בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -P} , אך יתרונה הוא בכך שכפל נקודות הופך להיות קל ולצורך חישובי דיפי-הלמן צריך רק את הקואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

נוסחת חיבור וכפל של מונטגומרי

לפי נוסחת מונטגומרי נדרשים בדיוק 4 ריבועים, כפל אחד ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A-2)/4} , בנוסף ל-5 פעולות כפל נוספות ו-8 פעולות חיבור/חיסור. האלגוריתם פועל כדלהלן. בהינתן מספר ראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\ge 5} ושלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^2-4} אינו מספר ריבועי מודולו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} . ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E:y^2=x^3+Ax^2+x} עקום אליפטי מעל השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_p} . יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X:E(F_{p^2})\rightarrow\{\mathcal{O}\}\cup F_{p^2}} כדלהלן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X(\mathcal{O})=\mathcal{O}, X(x,y)=x} (הסמל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}} מייצג את הנקודה באינסוף). בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,z\in F_p} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,z)\ne(0,0)} השוויון הבא מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2 = (x_2 - z_2)^2 = (x - z)^2(x + z)^2} ,
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_2 = 4xz(x^2 + Axz + z^2)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ = ((x + z)^2 - (x - z)^2)\left((x + z)^2 +\frac{A - 2}{4}((x + z)^2 - (x - z)^2)\right)}

אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X(2Q)=x_2/z_2} עבור כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q\in E(F_{p^2})} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X(Q)=x/z} . כאן הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x/z} פירושו המנה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} בשדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_p} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z\ne 0} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=0} התוצאה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}} וכן אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=z=0} התוצאה אינה מוגדרת.

פונקציית דיפי-הלמן

בעקום 25519 לכל משתמש מפתח סודי באורך 32 בתים ומפתח ציבורי באורך 32 בתים. כל זוג משתמשים משתפים "סוד" באורך 32 בתים שממנו הם יכולים לייצר מפתחות לאימות והצפנה של חילופי המסרים ביניהם. העקום 25519 ונקודת הבסיס 9 הם פרמטרים ציבוריים וידועים לכל, כולל למתקיפה פוטנציאלית. המפתח הפרטי של אליס הוא השלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} שיכול להיות כל מחרוזת אקראית של 32 בתים והמפתח הפרטי של בוב הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} . אליס שולחת לבוב את המפתח הציבורי שלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Curve}25519(a,9)} . הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Curve}25519} מקבלת שלם כלשהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ונקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} בעקום 25519 ומחזירה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle nQ} . בוב שולח לאליס את המפתח הציבורי שלו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Curve}25519(b,9)} . הסוד המשותף הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Curve}25519(a, \text{Curve}25519(b,9))=\text{Curve}25519(b, \text{Curve}25519(a,9))}

במילים, הסוד המשותף מתקבל מהכפלת הסוד הפרטי של כל משתמש במפתח הציבורי של המשתמש השני. הרעיון כאן הוא שהמשתמשים אינם חושפים את הסודות שלהם, תחת זאת הם מכפילים את הסודות בנקודה הקבועה ושולחים את התוצאה ברשת האינטרנט. ניסיון לנחש את השלם שאיתו בוצע כפל סקלרי של נקודה קבועה כלשהי בעקום קשה מאוד והוא נחשב לבעיה מתמטית קשה הנקראת "בעיית הלוגריתם הבדיד בעקום אליפטי". ניסיון לנחש את הסוד המשותף מתוך שני המפתחות הציבוריים נקרא בעיית דיפי-הלמן בעקום אליפטי וגם היא נחשבת כבעיה קשה, אם כי אין הוכחה שהיא קשה לפחות כבעיית הלוגריתם הבדיד. בדרך כלל מהסוד המשותף גוזרים מפתחות הצפנה ואימות באמצעות פונקציית גיבוב קריפטוגרפית.

עקום 25519 נבנה כך שיהיה עמיד נגד מספר מלכודות הנובעות מאופן היישום שלו בפועל. העקום עמיד נגד התקפת תיזמון, הוא יכול לקבל כל מחרוזת באורך 32 בתים כמפתח ציבורי תקף ואינו דורש אימות.

היסטוריה ושימושים

עקום 25519 זכה לפופולריות רבה מאז פורסם, אולם ההתעניינות הגוברת בו החלה אחרי 2013 כשנודע שה-NSA שתלו דלת אחורית בעקום האליפטי DUAL EC DRBG שהיה חלק מתקן ההצפנה בעקום אליפטי של NIST. אף על פי שאין קשר ישיר ביניהם, החשיפה הגבירה את החשש בקרב המשתמשים מפני דלתות נוספות שייתכן נשתלו במרכיבים אחרים של התקן כמו העקומים הקבועים P-xxx. ברוס שנייר מגדולי הקריפטוגרפים בני זמננו התבטא פעם: "איני סומך יותר על העקומים הקבועים שלהם. אני מאמין שה-NSA ביצעו מניפולציות בעזרת הקשרים שלהם עם התעשייה". הוא גם ציין שה-NSA מסוגלים לפצח כל הצפנה באינטרנט (נכון ל-2013).

עקום 25519 הפך לתקן בפועל שהחליף את P-256 והוא בשימוש במגוון רחב של יישומים. החל מ-2014 פרוטוקול OpenSSH הטמיע את העקום כברירת מחדל בישומים מבוססי ECDH. ספריות קריפטוגרפיות רבות תומכות בעקום זה ביניהן: OpenSSL וכן Libgcrypt, Crypto++‎ ועוד רבים. בין הפרוטוקולים, האפלקציות ומערכות ההפעלה המשתמשים בעקום זה נמנים:

ביטחון ויעילות

הביטחון של העקום הזה נחשב גבוה, כלומר לא קיימת דרך לחשיפת הסוד המשותף מתוך שני המפתחות הציבוריים שהיא טובה יותר מכוח גס בסיבוכיות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{128}} . הבעיה הכללית עליה הוא מבוסס, בעיית דיפי הלמן בעקום אליפטי נחקרה באופן אינטנסיבי מזה כשני עשורים והותקפה רבות על ידי מתמטיקאים, אנליסטים והאקרים ללא הצלחה. עקום 25519 מכיל מספר תכונות שמעניקות לו יתרון, הסדר שלו הוא מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{255}} , הוא אינו מכיל מאפיינים אלגבריים ייחודיים שניתנים לניצול לקיצור ההתקפה נגדו. האלגוריתמים הידועים כמו אלגוריתם רו או אלגוריתם קנגורו של פולרד ואלגוריתם פוליג-הלמן יעילים רק נגד עקומים מסדר ראשוני נמוך יותר ולכן אינם פרקטיים נגד עקום 25519.

היתרון של עקום 25519 הוא באופן המימוש שלו. אפשר לנצל את יחידת הנקודה הצפה בקיצור FPU של המעבד כדי להאיץ ביצועים של פעולות כפל וחיבור בסיסיות באופן משמעותי. הסיבה לבחירה של הראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{255}-19} נובעת בגלל היכולת לייצג אלמנטים של השדה בצורה פולינומית ולבצע חיבור וכפל במהירות. הפולינומים נבחרו כך שיענו על שני מאפיינים חשובים, שהמעלה שלהם תהיה נמוכה (לכל היותר 9) כך שיהיו פחות מקדמים שצריך לכפול כחלק מהכפל בפולינומים וכן, כל מקדם הוא כפולה קטנה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{\lceil 25.5i\rceil}} . ביתר פירוט הפולינומים עם מספר מופחת של מקדמים קטנים הם מהצורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_0+u_1x+u_2x^2+\cdots +u_9x^9} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i} הוא כפולה שלמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{\lceil 25.5i\rceil}} .
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i/2^{\lceil 25.5i\rceil}\in\{-2^{25},-2^{25} + 1,...,-1,0,1,...,2^{25}-1, 2^{25}\}}

כאן הפולינום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle \sum_i u_ix^i} מייצג את השלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_0+u_1+\cdots+u_9} שהוא בעצם פיצול של שלם באורך 256 סיביות לעשרה שלמים באורך 26 סיביות כל אחד בקירוב, כדי שיתאימו באורכם לאוגרי הנקודה הצפה המצויים בכל מעבד. כל שלם באורך 256 סיביות ניתן לטעינה בתשעה אוגרים. בדרך כלל במעבדים מודרניים אוגרים אילו מצויים בשפע. השימוש בבסיס 25.5 ולא בבסיס 25 או 26 נובע מסיבות של יעילות כדי להימנע מחילוק ארוך במקדמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{10}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{11}} וכן להימנע מכפל המקדמים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^5\cdot 19} במקום ב-19.

חיבור/חיסור שני פולינומים של עקום 25519 מודולו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{255}-19} מצריך 10 פעולות חיבור/חיסור של מספרי נקודה צפה (fp). כל פעולת חיבור/חיסור צורכת 10 פקודות fp בסיסיות, בלולאה הראשית של הפונקציה Curve25519 מתבצעים בסך הכול 20,400 פקודות fp. פעולת כפל צורכת 100 פקודות fp עבור כפל ו-81 פקודות fp עבור חיבור. המקדמים הגבוהים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{10}, x^{11},...,x^{18}} לאחר תוצאת הכפל מצומצמים מודולו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{255}x^{10}-19} . למשל המקדם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{18}} מוכפל ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 19\cdot 2^{255}} ומחובר למקדם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^8} . כל צמצום דורש פקודת fp אחת לכפל ופקודת fp אחת לחיבור. החלק הגבוה (הכפולה הקרובה ביותר לחזקה של 2) של כל מקדם מחוסר ומחובר למקדם שלפניו. כל העברה כזו צורכת בסך הכול 4 פקודות fp. כך שלצורך הצמצום המודולרי נדרשים עוד כ-60 פקודות fp. כתיבת הקוד עדיפה באסמבלי כדי להימנע מתקורה מיותרת שעלולה לקרות ביישום בשפת C.

כאשר מחשב קוונטי לשימוש כללי בקנה מידה גדול יהיה מעשי, ניתן יהיה לפתור את בעיית דיפי הלמן בעקום 25519 ובעקומים אליפטיים אחרים בקלות רבה ולכן הפרוטוקול לא יהיה בטוח לשימוש במקרה כזה.

הפונקציה Curve25519

הפונקציה Curve25519 היא בעצם כפל סקלרי של הקואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in F_p} מעל העקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E(F_{p^2})} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} הוא המספר הראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{255}-19} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} הוא העקום האליפטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^2=x^3+486662x^2+x} .

ביתר פירוט, השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}_{p^2}} מוגדר כקבוצת כל האלמנטים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (Z/(2^{255}-19))[\sqrt{2}]} . תהי הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_0:E(\mathbb{F}_{p^2})\rightarrow\mathbb{F}_{p^2}} מוגדרת כדלהלן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_0(\mathcal{O})=0,X_0(x,y)=x} . במילים אחרות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_0} היא פונקציה שממירה נקודה בעקום לאלמנט בשדה (פשוט על ידי נטילת הקואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} והתעלמות מהקואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ). תהי הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X:E(\mathbb{F}_{p^2})\rightarrow\{\mathcal{O}\}\cup\mathbb{F}_{p_2}} המוגדרת כדלהלן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X(\mathcal{O})=\mathcal{O},X(x,y)=x} .

המפתח הציבורי והמפתח הפרטי מומרים ממחרוזות בתים לאלמנטים של השדה לפי סדר בתים קטן. במילים אחרות כל שלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s\in\{0,1,...,2^{256}-1\}} מיוצג כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=(s\text{ mod }256,\lfloor s/256\rfloor\text{ mod }256,...,\left\lfloor s/256^{31}\right\rfloor\text{ mod }256)} .

קבוצת כל המפתחות הציבוריים האפשריים היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{q:q\in\{0,1,...,2^{256}-1\}\}} . קבוצת כל מפתחות הפרטיים היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{n:n\in 2^{254}+8\{0,1,2,3,...,2^{251}-1\}\}} . הפונקציה Curve25519 מוגדרת כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Curve}25519:\{\text{Curve25519 }\text{secret key}\}\times\{\text{Curve25519 }\text{public key}\}\rightarrow\{\text{Curve25519 }\text{public key}\}} .

בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} קיים שלם ייחודי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s\in\{0,1,2,...,2^{255}-20\}} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=X_0(nQ)} עבור כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q\in E(\mathbb{F}_{p^2})} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_0(Q)=q\text{ mod }2^{255}-19} . לסיום הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Curve}25519(n,q)} מחזירה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} האמור.

פסאודו קוד

הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Curve25519 }} בפסאודו קוד הבא מבוססת על סולם מונטגומרי. היא מקבלת את השלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} (שהוא הסוד הפרטי של המשתמש) ואת הקואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} (מקבילה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} בעקום מונטגומרי) של הנקודה הקבועה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} בעקום 25519 ומחזירה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2} שהוא הקואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} של הכפל הסלקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle kP} .

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\mathbf{Curve25519}(k,u)}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1=x_3=u}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2=z_3=1}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_2=0}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=0 \text{ // boolean} }
‎
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{For } t=254\text{ Down to }0\text{ do:}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ k_t=(k \gg t) \text{ AND } 1}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ s = s \oplus k_t}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ (x_2,x_3)=\text{ConditionalSwap}(s,x_2,x_3)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ (z_2,z_3)=\text{ConditionalSwap}(s,z_2,z_3)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ A=x_2+z_2}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ B=x_2-z_2}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ E=A^2-B^2}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ C=x_3+z_3}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ D=x_3-z_3}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ x_3=(DA + CB)^2}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ z_3=x_1\cdot(DA-CB)^2}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ x_2=A^2\cdot B^2}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ z_2=E\cdot (A^2+121665\cdot E)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_2,x_3)=\text{ConditionalSwap}(s, x_2,x_3)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (z_2,z_3)=\text{ConditionalSwap}(s, z_2,z_3)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Return }x_2\cdot\left(z_2^{(p-2)}\right)}

הסמל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gg} כאן מייצג הזזה ימינה (shift right) ברמת סיביות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{ AND}} הוא וגם והסמל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oplus} הוא XOR. הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{ConditionalSwap}(s,a,b)} היא פונקציית החלפה שמקבלת פרמטר בוליאני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} ומחליפה בין ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} בתנאי ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} שווה אמת. הפונקציה חייבת להיות מיושמת באופן כזה שההחלפה תהיה קבועה תמיד כדי לסכל התקפת ערוץ צדדי. אפשר ליישם זאת על ידי הוספת מסכת אחדים לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} , למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{mask}(s)=0-s} , אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=0} התוצאה תהיה כאילו לא בוצעה החלפה. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{dummy}} הוא משתנה מקומי, אז ההחלפה מתבצעת בשלושה מהלכים ללא תנאי כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{dummy}=\text{mask}(\text{s})\text{ AND } (a\oplus b)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=a\oplus\text{dummy}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=b\oplus\text{dummy}}

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ↑ A state-of-the-art Diffie-Hellman function
  2. ↑ 25519 naming
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

עקום 2551941358021Q15702839

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=עקום_25519&oldid=3309783"