פונקציית המספרים הראשוניים

הפונקציה עבור 60 המספרים הטבעיים הראשונים

התכנסות הפונקציה $\pi (x)$ ביחס לפונקציות ${\tfrac {x}{\ln(x)}},{\text{li}}(x)$ , כאשר $x$ קטן

במתמטיקה, ובעיקר בתורת המספרים, פונקציית המספרים הראשוניים $\pi (x)$ (ללא קשר למספר פאי) היא פונקציה הסופרת את כמות המספרים הראשוניים הקטנים או שווים למספר ממשי $x$ . הפונקציה ידועה בעיקר ממשפט המספרים הראשוניים, אומרת שפונקציית המספרים הראשוניים היא אסימפטוטית לפונקציה ${\tfrac {x}{\ln(x)}}$ או

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1$

טענה זו שקולה לטענה

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{{\text{li}}(x)}}=1$

כאשר ${\text{li}}$ פונקציית האינטגרל הלוגריתמי. עובדה זו שוערה לראשונה על ידי קרל פרידריך גאוס ואדריאן-מארי לז'נדר בסוף המאה ה-18 בנפרד, והוכחה על ידי ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן ב-1896 כשהם מתבססים על מאפיינים של פונקציית זטא של רימן שהציג ברנהרד רימן ב-1859, והמשפט הוכח ללא שימוש בפונקציית זטא של רימן או אנליזה מרוכבת על ידי פאול ארדש ב-1948.

טבלה של ערכי הפונקציות

$x$	$\pi (x)$	$\pi (x)-{\frac {x}{\ln(x)}}$	${\text{li}}(x)-\pi (x)$	${\frac {x}{\pi (x)}}$
10	4	0.3-	2.2	2.500
102	25	3.3	5.1	4.000
103	168	23	10	5.952
104	1,229	143	17	8.137
105	9,592	906	38	10.425
106	78,498	6,116	130	12.740
107	664,579	44,158	339	15.047
108	5,761,455	332,774	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850