פונקציית גמא

פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֶרוֹמורפית, המרחיבה את מושג ה"עצרת" לכל המישור המרוכב: לכל מספר טבעי $n=1,2,\dots$, הפונקציה מקבלת את הערך $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$.

הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות $\mathrm{\Gamma }$ נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של אדריאן-מארי לז'נדר. קרל פרידריך גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, $\mathrm{\Pi }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)$, לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.

לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות $z=0,-1,-2,\dots$ בלבד, ואין לה שורשים. הפונקציה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית $\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$, המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.

הגדרה

פונקציית גמא מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב על ידי האינטגרל הבא:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

וזאת לכל $z\in \mathbb{ℂ}$ שהחלק הממשי שלו, $Re(z)$, הוא חיובי. פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1\cdot 2\cdots n}{z\cdot (z+1)\cdots (z+n-1)}(n+1{)}^{z-1}$

המוגדר היטב לכל $z\ne 0,-1,-2,\dots$. משום כך, הפונקציה השנייה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.

תכונות

הקשר לפונקציית עצרת

קובץ:Gamma plot.svg

גרף של פונקציית גמא על הישר הממשי

ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית העצרת.

אם $n$ הוא חיובי ושלם, אזי $\mathrm{\Gamma }(n)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{n-1}{e}^{-t}dt=(n-1)!$, כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$, ומאחר ש-$\mathrm{\Gamma }(1)=1$ נקבל כי $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=\dots =n!\mathrm{\Gamma }(1)=n!$ לכל מספר טבעי $n$.

זהויות אחרות

זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף: $\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\sin \pi z}$.

מכאן נובע כי $\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{\sin \pi /2}=\pi$, ולכן $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$.

זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס:

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{k})\mathrm{\Gamma }(z+\frac{2}{k})\cdots \mathrm{\Gamma }(z+\frac{k-1}{k})=(2\pi {)}^{(k-1)/2}{k}^{1/2-kz}\mathrm{\Gamma }(kz)$

קובץ:Gamma abs.png

גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב. באיור זה ניתן לראות בבירור את הקטבים של הפונקציה

לפונקציית גמא יש קוטב ב-$z=-n$ לכל $n$ טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:

$\mathrm{Res}(\mathrm{\Gamma },-n)=\frac{(-1{)}^n}{n!}.$

המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל $z$ מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n}$

כאשר $\gamma$ הוא "קבוע אוילר".

משפט בוהר-מולרופ

משפט בוהר-מולרופ (על שם המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהאן מולרופ) הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא.

משפט: פונקציית גמא הממשית המוגדרת לכל $x>0$ על ידי $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$ היא הפונקציה היחידה $f$ בקרן $(0,\mathrm{\infty })$ המקיימת:

1. $f(1)=1$
2. $f(x+1)=xf(x)\text{for}x>0$
3. $f$ היא פונקציה לוג-קמורה

אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרופ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.

ראו גם

• פונקציית בטא
• פונקציית גמא הלא-שלמה

קישורים חיצוניים

• פונקציית גמא באתר Wolfram mathworld
• מחשבון לפונקציית גמא

פונקציית_גמא19128338Q190573