קבוע קפרקר

קבוע קפרקר, הקרוי על שמו של המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר שגילה את תכונותיו, הוא המספר 6174, שמתאפיין בכך שרצף פעולות חשבוניות מסוימות על מספר כלשהו בן 4 ספרות יסתיים תמיד בהגעה ל-6174.

על מנת להגיע למספר 6174, יש לבצע את רצף הפעולות הבא:

1. לבחור מספר בן 4 ספרות, בעל לפחות שתי ספרות שונות זו מזו. ניתן לבחור גם מספר בן פחות מ-4 ספרות, אך להוסיף לו אפסים מובילים כך שיהיה בן 4 ספרות.
2. לסדר את ספרות המספר בסדר יורד וכן בסדר עולה, לקבלת שני מספרים שונים בעלי 4 ספרות (תוך הוספת אפסים מובילים במקרה הצורך).
3. לחסר את המספר הקטן מהמספר הגדול.
4. עבור התוצאה שהתקבלה, לחזור על התהליך החל משלב 2.

תהליך זה יוביל תוך 7 צעדים לכל היותר למספר 6174, ושם ייעצר, כיוון שביצוע תהליך זה על המספר 6174 יחזיר את אותו המספר עצמו (‎7641 - 1467 = 6174).

דוגמה, עבור המספר 4915:

• ‎9541 - 1459 = 8082
• ‎8820 - 0288 = 8532
• ‎8532 - 2358 = 6174

דוגמה נוספת, עבור המספר 2111:

• ‎2111 – 1112 = 0999
• ‎9990 – 0999 = 8991 (יש לזכור להוסיף את הספרה 0 למספר שהתקבל בצעד הקודם, כיוון ש-‎999 - 999 = 0)
• ‎9981 – 1899 = 8082
• ‎8820 – 0288 = 8532
• ‎8532 – 2358 = 6174

המספרים בעלי 4 ספרות עבורם תהליך זה אינו מסתיים במספר 6174 הם רצפים של 4 ספרות זהות. רצף כזה, כגון 3333, יתן את המספר 0 לאחר ביצוע צעד אחד.

תכונתו של קבוע קפרקר מאפשרת להציגו כקסם של קריאת מחשבות שתמציתו: בחר מספר כלשהו בן 4 ספרות, עשה פעולות אלה, חשוב היטב על התוצאה, נכון שהגעת ל-6174?

למספר 495 תכונה דומה, והוא מתקבל מתהליך דומה עבור מספר כלשהו בן 3 ספרות. ביצוע התהליך על מספר בין 2 ספרות יביא תמיד למספר 9.

הוכחה

נניח כי המספר המתקבל מהסידור היורד הוא abcd, והמספר המתקבל מהסידור העולה הוא dcba, כך ש: $9\geq a\geq b\geq c\geq d\geq 0$.

נניח כי החיסור ביניהם נותן את המספר ABCD. מתוך כללי החיסור, עולה כי:

• ‎D = 10 + d - a (כיוון ש-‎a > d)
• ‎C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (כיוון ש-‎b > c - 1)
• ‎B = b - 1 - c (כיוון ש-‎b > c)
• ‎A = a - d

המספר ABCD שיגרום לעצירת שרשרת הצעדים הוא מספר שספרותיו A, B, C ו-D הן תמורה מסוימת של הספרות a, b, c ו-d. כל אחת מ-‎4! = 24 התמורות האפשריות מספקת מערכת של 4 משוואות עם 4 נעלמים, הניתנת לפתרון. הפתרון היחיד שנותן מספרים שלמים בין 0 ל-9 הוא הפתרון שבו ‎ABCD = bdac, והפתרון המספרי הוא: ‎a=7, b=6, c=4, d=1. למערכת המשוואות אין פתרון אחר במספרים שלמים, ולכן 6174 הוא המספר היחיד בעל התכונות של קבוע קפרקר.

ראו גם

• השערת קולץ

קישורים חיצוניים

• מאמר אודות המספר 6174
• הרחבת התכונות של קבוע קפרקר למספרים בעלי מספר ספרות אחר