קבוע קפרקר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

קבוע קפרקר, הקרוי על שמו של המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר שגילה את תכונותיו, הוא המספר 6174, שמתאפיין בכך שרצף פעולות חשבוניות מסוימות על מספר כלשהו בן 4 ספרות יסתיים תמיד בהגעה ל-6174.

על מנת להגיע למספר 6174, יש לבצע את רצף הפעולות הבא:

  1. לבחור מספר בן 4 ספרות, בעל לפחות שתי ספרות שונות זו מזו. ניתן לבחור גם מספר בן פחות מ-4 ספרות, אך להוסיף לו אפסים מובילים כך שיהיה בן 4 ספרות.
  2. לסדר את ספרות המספר בסדר יורד וכן בסדר עולה, לקבלת שני מספרים שונים בעלי 4 ספרות (תוך הוספת אפסים מובילים במקרה הצורך).
  3. לחסר את המספר הקטן מהמספר הגדול.
  4. עבור התוצאה שהתקבלה, לחזור על התהליך החל משלב 2.

תהליך זה יוביל תוך 7 צעדים לכל היותר למספר 6174, ושם ייעצר, כיוון שביצוע תהליך זה על המספר 6174 יחזיר את אותו המספר עצמו (‎7641 - 1467 = 6174).

דוגמה, עבור המספר 4915:

  • ‎9541 - 1459 = 8082
  • ‎8820 - 0288 = 8532
  • ‎8532 - 2358 = 6174

דוגמה נוספת, עבור המספר 2111:

  • ‎2111 – 1112 = 0999
  • ‎9990 – 0999 = 8991 (יש לזכור להוסיף את הספרה 0 למספר שהתקבל בצעד הקודם, כיוון ש-‎999 - 999 = 0)
  • ‎9981 – 1899 = 8082
  • ‎8820 – 0288 = 8532
  • ‎8532 – 2358 = 6174

המספרים בעלי 4 ספרות עבורם תהליך זה אינו מסתיים במספר 6174 הם רצפים של 4 ספרות זהות. רצף כזה, כגון 3333, יתן את המספר 0 לאחר ביצוע צעד אחד.

תכונתו של קבוע קפרקר מאפשרת להציגו כקסם של קריאת מחשבות שתמציתו: בחר מספר כלשהו בן 4 ספרות, עשה פעולות אלה, חשוב היטב על התוצאה, נכון שהגעת ל-6174?

למספר 495 תכונה דומה, והוא מתקבל מתהליך דומה עבור מספר כלשהו בן 3 ספרות. ביצוע התהליך על מספר בין 2 ספרות יביא תמיד למספר 9.

הוכחה

נניח כי המספר המתקבל מהסידור היורד הוא abcd, והמספר המתקבל מהסידור העולה הוא dcba, כך ש: .

נניח כי החיסור ביניהם נותן את המספר ABCD. מתוך כללי החיסור, עולה כי:

  • ‎D = 10 + d - a (כיוון ש-‎a > d)
  • ‎C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (כיוון ש-‎b > c - 1)
  • ‎B = b - 1 - c (כיוון ש-‎b > c)
  • ‎A = a - d

המספר ABCD שיגרום לעצירת שרשרת הצעדים הוא מספר שספרותיו A, B, C ו-D הן תמורה מסוימת של הספרות a, b, c ו-d. כל אחת מ-‎4! = 24 התמורות האפשריות מספקת מערכת של 4 משוואות עם 4 נעלמים, הניתנת לפתרון. הפתרון היחיד שנותן מספרים שלמים בין 0 ל-9 הוא הפתרון שבו ‎ABCD = bdac, והפתרון המספרי הוא: ‎a=7, b=6, c=4, d=1. למערכת המשוואות אין פתרון אחר במספרים שלמים, ולכן 6174 הוא המספר היחיד בעל התכונות של קבוע קפרקר.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מספרים טבעיים
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53
60    70    80    90    100    200    300    400    500
1,000   2,000    10,000    100,000    600,000    1,000,000
אחרים
שמות מספרים | ...0.999 | 666 | 1089 | 1729 | קבוע קפרקר | גוגול | גוגולפלקס | מספר גרהאם
סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0


שגיאות פרמטריות בתבנית:קצרמר

פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

Stub general.png ערך זה הוא קצרמר. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.