קבוע קפרקר
קבוע קפרקר, הקרוי על שמו של המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר שגילה את תכונותיו, הוא המספר 6174, שמתאפיין בכך שרצף פעולות חשבוניות מסוימות על מספר כלשהו בן 4 ספרות יסתיים תמיד בהגעה ל-6174.
על מנת להגיע למספר 6174, יש לבצע את רצף הפעולות הבא:
- לבחור מספר בן 4 ספרות, בעל לפחות שתי ספרות שונות זו מזו. ניתן לבחור גם מספר בן פחות מ-4 ספרות, אך להוסיף לו אפסים מובילים כך שיהיה בן 4 ספרות.
- לסדר את ספרות המספר בסדר יורד וכן בסדר עולה, לקבלת שני מספרים שונים בעלי 4 ספרות (תוך הוספת אפסים מובילים במקרה הצורך).
- לחסר את המספר הקטן מהמספר הגדול.
- עבור התוצאה שהתקבלה, לחזור על התהליך החל משלב 2.
תהליך זה יוביל תוך 7 צעדים לכל היותר למספר 6174, ושם ייעצר, כיוון שביצוע תהליך זה על המספר 6174 יחזיר את אותו המספר עצמו (7641 - 1467 = 6174).
דוגמה, עבור המספר 4915:
- 9541 - 1459 = 8082
- 8820 - 0288 = 8532
- 8532 - 2358 = 6174
דוגמה נוספת, עבור המספר 2111:
- 2111 – 1112 = 0999
- 9990 – 0999 = 8991 (יש לזכור להוסיף את הספרה 0 למספר שהתקבל בצעד הקודם, כיוון ש-999 - 999 = 0)
- 9981 – 1899 = 8082
- 8820 – 0288 = 8532
- 8532 – 2358 = 6174
המספרים בעלי 4 ספרות עבורם תהליך זה אינו מסתיים במספר 6174 הם רצפים של 4 ספרות זהות. רצף כזה, כגון 3333, יתן את המספר 0 לאחר ביצוע צעד אחד.
תכונתו של קבוע קפרקר מאפשרת להציגו כקסם של קריאת מחשבות שתמציתו: בחר מספר כלשהו בן 4 ספרות, עשה פעולות אלה, חשוב היטב על התוצאה, נכון שהגעת ל-6174?
למספר 495 תכונה דומה, והוא מתקבל מתהליך דומה עבור מספר כלשהו בן 3 ספרות. ביצוע התהליך על מספר בין 2 ספרות יביא תמיד למספר 9.
הוכחה
נניח כי המספר המתקבל מהסידור היורד הוא abcd, והמספר המתקבל מהסידור העולה הוא dcba, כך ש: .
נניח כי החיסור ביניהם נותן את המספר ABCD. מתוך כללי החיסור, עולה כי:
- D = 10 + d - a (כיוון ש-a > d)
- C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (כיוון ש-b > c - 1)
- B = b - 1 - c (כיוון ש-b > c)
- A = a - d
המספר ABCD שיגרום לעצירת שרשרת הצעדים הוא מספר שספרותיו A, B, C ו-D הן תמורה מסוימת של הספרות a, b, c ו-d. כל אחת מ-4! = 24 התמורות האפשריות מספקת מערכת של 4 משוואות עם 4 נעלמים, הניתנת לפתרון. הפתרון היחיד שנותן מספרים שלמים בין 0 ל-9 הוא הפתרון שבו ABCD = bdac, והפתרון המספרי הוא: a=7, b=6, c=4, d=1. למערכת המשוואות אין פתרון אחר במספרים שלמים, ולכן 6174 הוא המספר היחיד בעל התכונות של קבוע קפרקר.
ראו גם
קישורים חיצוניים
מספרים טבעיים | ||||||||||||||||||||
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||||
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |||||||||||
20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | |||||||||||
30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | |||||||||||
40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | |||||||||||
50 | 51 | 52 | 53 | |||||||||||||||||
60 70 80 90 100 200 300 400 500 | ||||||||||||||||||||
1,000 2,000 10,000 100,000 600,000 1,000,000 | ||||||||||||||||||||
אחרים | ||||||||||||||||||||
שמות מספרים | ...0.999 | 666 | 1089 | 1729 | קבוע קפרקר | גוגול | גוגולפלקס | מספר גרהאם |
שגיאות פרמטריות בתבנית:קצרמר
פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים