רדיקל ברינג

רדיקל ברינג (באנגלית: Bring radical או Ultraradical) של מספר מרוכב כלשהו a הוא שורש של הפולינום $\ x^{5}+x+a$ ; הרדיקל הוא פונקציה גזירה של a במישור המרוכב. הרדיקל נקרא כך על שם המתמטיקאי השוודי ארלנד ברינג, למרות שאיננו רדיקל במובן הרגיל של המונח. ג'ורג' ג'רארד הראה שאפשר להשתמש בו לפתרון משוואות ממעלה חמישית, שאין להן פתרון כללי על ידי רדיקלים.

הגדרת הרדיקל

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

לפולינום $\ x^{5}+x+a$ יש תמיד חמישה פתרונות שונים. הפתרון נבחר כענף אנליטי של הפונקציה ההפוכה, באופן כזה שהרדיקל של מספר ממשי הוא מספר ממשי.

חישוב באמצעות פיתוח טיילור

ניתן להשתמש בטור טיילור אם נגדיר $f(x)=x^{5}+x$ אז בגלל שאנחנו רוצים למצוא את x שמקיים $x^{5}+x+a=0$ (כלומר המקיים $f(x)+a=0$ או בפשטות $f(x)=-a$ ) אם נגדיר את $f^{-1}(x)$ בתור הפונקציה ההפוכה ל- $f(x)$ אז אנחנו מחפשים את $f^{-1}(a)$ . בהינתן פונקציה אנחנו מסוגלים לפתח את טור טיילור של הפונקציה ההפוכה לה ויוצא שרדיקל ברינג הוא $f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k}a^{4k+1}}{4k+1}}$ .