משפט האידאל הראשי

משפט האידאל הראשי של ולפגנג קרול קובע שבתחום שלמות נתרי, אידאל ראשוני שהוא מינימלי מעל איבר, הוא מינימלי. משפט זה, והכללות שלו, מאפשר לחשב את הגובה של אידאלים ראשוניים, ודרך זה את ממד קרול של חוגים שונים.

אומרים שאידאל ראשוני P הוא מינימלי מעל a אם אין ראשוני $a\in Q\subset P$, וסתם מינימלי אם אין ראשוני Q כך ש- $0\subset Q\subset P$. לפי ההגדרה, ראשוני מינימלי הוא ראשוני בעל גובה 1 לכל היותר.

מן המשפט נובעת גם התוצאה הכללית יותר ("משפט האידאל הראשי המוכלל"), שאידאל ראשוני שהוא מינימלי מעל $a_1,\dots ,a_n$ הוא מגובה n לכל היותר. בפרט, הגובה של אידאל ראשוני חסום (מלמעלה) על ידי מספר היוצרים שלו. ולהיפך: אידאל מגובה n אי-אפשר ליצור בפחות מ-n אברים. בפרט, בחוג נתרי קומוטטיבי לכל אידאל ראשוני יש גובה סופי. מכיוון שממד קרול הוא הסופרימום של גבהי האידאלים המקסימליים, נובע מכאן גם שלתחום שלמות מקומי יש ממד קרול סופי.