פירוק ז'ורדן (אלגברת לי)

באלגברה מופשטת, פירוק ז'ורדן של איבר של תת-אלגברת לי של אלגברת אנדומורפיזמים, הוא הצגת האיבר כסכום של איבר פשוט למחצה (או לכסין), ואיבר נילפוטנט. לפירוק זה חשיבות בתחום, והוא משמש ככלי להוכחת טענות אחרות, כמו קריטריון קרטן.

הגדרה פורמלית

תהי $L$ תת-אלגברת לי פתירה של אלגברת האנדומורפיזמים $GL(V)$ עבור מרחב וקטורי $V$ מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית.

איבר $x$ של $L$ הוא נילפוטנט אם חזקה מסוימת שלו היא אפס. $x$ היא פשוט למחצה אם הפולינום המינימלי שלה מתפרק לגורמים שונים, או בשיקלות (מעל שדה סגור אלגברית) היא לכסינה.

המשפט קובע כי לכל איבר $x\in L$:

1. יש הצגה כסכום $x=x_s+x_n$, כאשר $x_s$ פשוט למחצה, $x_n$ נילפוטנט, ומתקיים $[x_s,x_n]=0$ (כלומר, הם מתחלפים). יותר מכך, הצגה זו יחידה.

2. בהצגה הנ"ל, את האיברים $x_s,x_n$ ניתן להציג כפולינום ללא ערך חופשי במשתנה $x$.

3. האיברים $x_s,x_n$ משמרים הכלות של $x$, כלומר אם $A\subseteq B\subseteq V$ ומתקיים $x(B)\subseteq A$, אז גם $x_s(B)\subseteq A$ ,$x_n(B)\subseteq A$.

טענות נוספות

להלן תכונות נוספות של פירוק ז'ורדן, הקשורות גם למושגים אחרים בתאוריה של אלגברות לי.

• אם $x=x_s+x_n$ צורת הז'ורדן של $x$, אז $\mathrm{ad}x=\mathrm{ad}{x}_s+\mathrm{ad}{x}_n$ צורת הז'ורדן של הייצוג הצמוד שלו.

• אם $L$ היא כל מרחב וקטורי עם אופרטור בילינארי, אז לכל $\delta \in \mathrm{DerL}$ (קבוצת הנגזרות) עם פירוק ז'ורדן $\delta ={\delta }_s+{\delta }_n$, מתקיים גם ${\delta }_s,{\delta }_n\in \mathrm{DerL}$.

פירוק ז'ורדן המופשט

אם בנוסף להנחות הנ"ל, $L$ היא גם אלגברת לי פשוטה למחצה, אז הנגזרות שלה מתלכדות עם ההצגה הצמודה שלה, כלומר $\mathrm{Der}(L)=\mathrm{ad}(L)$. במקרה זה, יש איזומורפיזם בין $L$ ל-$\mathrm{ad}(L)$. כעת, לכל איבר ב-$\mathrm{ad}(L)$ יש פירוק ז'ורדן, ולפי הטענה לעיל חלקיו נשארים בתוך $\mathrm{Der}(L)$, שהיא בדיוק $\mathrm{ad}(L)$. כלומר, לכל איבר $x$ ב-$L$ קיימים איברים$s$,$n$ ב-$L$, כך ש-$x=s+n$ (הם התמונות ההופכות של צורת ז'ורדן של $\mathrm{ad}x$). צורת זו נקראת צורת ז'ורדן המופשטת של $x$, ו-$s$,$n$ נקראים בהתאמה החלקים הינלפוטנטי והפשוט למחצה של $x$.

חשוב גם לאמר כי במקרה ש-$L$. היא מלכתחילה תת-אלגברה של אלגברת אנדומורפיזמים, אין סתירה בסימונים וביחידות הצורה.

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 17-19,24