מרכז (תורת החבורות)

בתורת החבורות מרכז החבורה G היא קבוצת כל האיברים, שמתחלפים עם כל איברי G: $Z(G)=\{z\in G|gz=zg\mathrm{\forall }g\in G\}$. המרכז הוא תמיד תת חבורה נורמלית ואבלית של G.

אם G היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת חסרת מרכז אם $Z(G)=\{e\}$ (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות ריק).

נתבונן בהומומורפיזם $\phi$ מהחבורה G לחבורת האוטומורפיזמים שלה $\phi :G\to \mathrm{Aut}(G)$ המוגדר לפי $(\phi (g))(h)=gh{g}^{-1}$. הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי G שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של G, והתמונה $\phi (G)$ היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של G, ומסומנת $\mathrm{Inn}(G)$. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון $G/Z(G)\cong \mathrm{Inn}(G)$. לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ-$G^{\mathrm{a}\mathrm{d}}=G/Z(G)$

ראו גם

• מרכז (אלגברה)