תת-חבורת פרטיני

בתורת החבורות, תת-חבורת פרטיני של חבורה נתונה שווה לחיתוך כל תת-החבורות המקסימליות של החבורה. תת-חבורת פרטיני של כל חבורה סופית היא נילפוטנטית. מקובל לסמן את תת-חבורת פרטיני של G ב-$\mathrm{\Phi }(G)$ או ב-$\mathrm{Fr}(G)$.

איברים לא-יוצרים

תת-חבורת פרטיני כוללת בדיוק את האברים הלא-יוצרים של G (איבר הוא לא-יוצר אם גריעתו מקבוצה היוצרת את החבורה מותירה קבוצה יוצרת), ובכך היא דומה לרדיקל ג'ייקובסון מתורת החוגים. בדומה ללמה של נקיאמה, אם $\mathrm{\Phi }(G)$ נוצרת סופית אז $\mathrm{\Phi }(G)H\ne G$ לכל תת-חבורה אמיתית H של G.

$\mathrm{\Phi }(G)=G$ רק אם אין לחבורה תת-חבורות מקסימליות (לא טריוויאליות). כש-G אבלית, זה קורה אם ורק אם G חליקה. בכל מקרה, כאשר G אבלית, $\mathrm{\Phi }(G)={\cap }_p{G}^p$.

חבורות-p

תת-חבורת פרטיני של חבורת-p‏ P היא תת-החבורה הנוצרת על ידי הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן, אם P סופית, אז המנה $P/\mathrm{\Phi }(P)$ היא מהצורה $(\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}}{)}^d$ עבור d מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי d אברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה $H_2(P,\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}})$: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם d יוצרים ו-r יחסים.

נילפוטנטיות

אם $\mathrm{\Phi }(G)$ חבורת-M (חבורה שיש לה סדרה נורמלית שבה כל המנות האינסופיות הן ציקליות; בפרט, אם היא סופית), אז היא נילפוטנטית. גם תת-חבורת פרטיני של כל חבורה לינארית נוצרת סופית היא נילפוטנטית.

הכלת הקומוטטורים

לכל חבורה G, חיתוך המרכז עם תת-חבורת הקומוטטורים $G^{\prime }$ מוכל ב-$\mathrm{\Phi }(G)$. לעומת זאת, $G^{\prime }\subseteq \mathrm{\Phi }(G)$ אם ורק אם כל תת-החבורות המקסימליות של G הן נורמליות. התנאי הזה מתקיים אם G חבורה נילפוטנטית; גם להיפך: אם $G$ היא חבורת-M והיא נילפוטנטית, אז $G^{\prime }\subseteq \mathrm{\Phi }(G)$.